Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраическими критериями устойчивости называют критерии, устанавливающие необходимые и достаточные условия отрицательности всех вещественных частей корней характеристического уравнения в форме алгоритма, т.е. определенной последовательности математических операций над коэффициентами характеристического уравнения. Алгебраические критерии основаны на анализе коэффициентов характеристического уравнения САР, которое получают путем алгебраизации дифференциального уравнения, описывающего процессы в САР, или из передаточной функции замкнутой исследуемой САР, приравняв нулю знаменатель передаточной функции.

В 1876 г. русский ученый И. А. Вышнеградский предложил критерий, который может быть применен для систем, описываемых дифференциальными уравнениями третьего порядка (п = 3).

В 1895 г. немецкий математик А. Гурвиц сформулировал критерий для определения устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, но на практике им удобно пользоваться при п < 4.

Согласно критерию Гурвица система будет устойчивой, если все коэффициенты характеристического уравнения и-го порядка положительны и все определители Гурвица до (п - 1)-го порядка больше нуля.

Определители Гурвица составляют следующим образом. Для старшего определителя ((« - 1)-го порядка) по главной диагонали определителя слева направо выписывают коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания их индексов: с а, до а„. Затем столбцы определителя заполняют вверх и вниз. При этом от каждого коэффициента главной диагонали по вертикали вверх выписывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а но вертикали вниз — с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами больше п и меньше нуля проставляют нули. Так, для характеристического уравнения и-го порядка определитель Гурвица имеет вид

Например, для САР, процессы в которой описываются системой уравнений четвертого порядка, характеристическое уравнение имеет вид

Согласно критерию Гурвица такая САР будет устойчива, если коэффициенты а0, av av av а4 больше нуля и определители третьего и второго порядков также больше нуля, т.е.

Если приравнять нулю определитель высшего порядка (п - 1) при условии, что вес остальные определители больше нуля, то получим уравнение, соответствующее нахождению системы на границе устойчивости. Из этого уравнения можно определить допустимые пределы изменения коэффициентов а0, av а.р av aA, для которых обеспечивается устойчивость системы.

Для анализа устойчивости линейных систем с уравнениями высокого порядка применяют критерий, предложенный в 1877 г. английским ученым Э. Раусом. Алгоритмическая форма этого критерия удобна для программирования. Объем вычислений при высоком порядке уравнения меньше, чем при использовании критерия Гурвица.

Сущность критерия Рауса заключается в следующем: из коэффициентов исследуемого характеристического уравнения необходимо построить специальную таблицу, которую называют таблицей Рауса (табл. 3.1). Она строится так: в первую строку таблицы вносят слева направо коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания, начиная с коэффициента а0; во вторую строку — так же слева направо — коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания, начиная с коэффициента а,; в остальных строках — коэффициенты, вычисленные по коэффициентам первых двух строк. Для этого разность перекрестных произведений коэффициентов двух предыдущих строк делят на коэффициент первого столбца предыдущей строки. Всего таблица содержит п + 1 строку, где п — степень характеристического уравнения. Система автоматического регулирования будет устойчивой, если все элементы первого столбца отличны от нуля и имеют один и тот же знак (положительный, так как обычно а0 > 0).

Таблица 3.1

Таблица Рауса

«0

«2

«4

ав

а,

«3

«5

а?

й,=(а1а20а3)/а| ci = Ф аз_ ai b2)/bl

Ь2 = («| а4 - а0 а3) / а( с2 = Oh - й[ ?>3) / Ь

= (ai аб ~ яо аТ) / а c3 = (hia1-a{bi)/bl

Ь4 = (а1 в8 _ Й0 а<Т) / а с4 = (/;1а91/?3)/й1

В 1949 г. советский и российский математик Ю. И. Неймарк предложил алгебраический критерий устойчивости линейных систем (критерий Неймарка), который также основан на составлении специальной таблицы (таблица Неймарка). Интересно отметить, что критерий Неймарка позволяет вывести критерий Гурвица, а критерий Гурвица — критерий Рауса.

Алгебраические критерии устойчивости просты для исследования САР невысокого порядка. Для исследования уравнений пятого и высшего порядков пользование ими затруднено, особенно если требуется установить влияние на устойчивость системы какого-либо параметра, г.е. ответить на вопрос, изменение в каком-либо направлении интересующего нас параметра усиливает устойчивость системы или ослабляет ее. Кроме того, для применения этих критериев необходимо иметь уравнения всех без исключения элементов САР, что практически не всегда возможно. Эго связано с тем, что характеристики некоторых звеньев трудно поддаются аналитическому выражению и могут быть сняты только экспериментально. В таких случаях обычно пользуются частотными критериями устойчивости.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >