Метод последовательного исключения переменных (метод Гаусса)

Существует несколько модификаций метода Гаусса, самая известная из них - схема единственного деления.

Метод Г аусса состоит из двух этапов.

I. Прямой ход.

Цель прямого хода - приведение матрицы системы А к верхнетреугольному виду.

Для этого выполняется п преобразований матрицы А. На каждом шаге преобразования выбирается к-я главная или ведущая строка. Диагональные элементы главной строки аы называются главными (ведущими) элементами.

На прямом ходе выполняется следующие действия:

• для всех строк, кроме главной, находим множитель /,;

• к каждой неглавной добавляем главную строку, умноженную на множитель /,;

  • главную строку делим на главный элемент
  • главную строку вычеркиваем, размерность системы становится меньше на единицу, то есть (п - 1).

На следующем шаге исключения главной строкой вновь становится верхняя строка, находящаяся под вычеркнутой на предыдущем шаге. Все указанные выше преобразования повторяются. Преобразования повторяются столько раз, пока главная строка не становится единственной в системе.

В результате матрица А приведена к всрхнстрсугольному виду.

II. Обратный ход.

Вектор неизвестных СЛАУ х находится в обратном порядке, начиная с последнего. Для этого составляется матрица из вычеркнутых строк, она имеет верхнетреугольный вид. Из последнего уравнения находится неизвестный х„, затем неизвестные находятся в порядке х„_ь х„_2, ..., X].

Схему единственного деления Гаусса удобно реализовать в виде таблицы. В табл. 4.3 приведено решение следующей СЛАУ:

Таблица 4.3

Метод Гаусса, схема единственного деления

Прямой ход

к

/,

Коэффициенты при неизвестных

Ь

С

X,

Xj

Хз

0

  • 2/3
  • -2/3

з

  • -2
  • 2

_1

  • 1
  • -1
  • 0
  • 1
  • 4
  • 5
  • 0
  • 15
  • 7
  • 0
  • 20

1

1

  • 3
  • 0
  • 0
  • -]
  • 1/3
  • -1/3
  • 0
  • 1
  • 4
  • 5
  • 10/3
  • 35/3
  • 7
  • 14/3
  • 46/3

2

  • 0
  • 0
  • 3
  • 0
  • 0
  • -1
  • 1/3
  • 0
  • 0
  • 1
  • 5
  • 5
  • 10/3
  • 45/3
  • 7
  • 14/3
  • 60/3

Обратный ход

Х| = 1

Х2 = 1

х, = 3

х3=4 х2=2 X, = 3

Замечание. Для уменьшения возможности ошибок счета вводятся так называемые контрольные суммы - столбец с в табл. 4.3, с которым выполняются следующие преобразования:

  • 1. На прямом ходе те же преобразования, что со столбцом свободных членов Ь. Контроль правильности преобразования строки на очередном шаге проводится суммированием всех коэффициентов в строке и свободного члена. Эти значения должны быть равны.
  • 2. На обратном ходе одновременно с вычислением корней х, вычисляются корни х], которые получены, если в выделенном в системе уравнении вместо свободного члена bt использовать значение контрольной суммы сг Между корнями должно выполняться следующее соответствие: х( = х( + .

При реализации метода Гаусса по схеме единственного деления предполагалось, что диагональные элементы не равны нулю. Это можно гарантировать только на нулевом шаге = 0) в исходной системе. Однако в ходе преобразований вполне возможны ситуации, что главные диагональные элементы станут нулевыми. В этих условиях схема единственного деления становится неработоспособной, так как в ходе преобразований происходит деление на главные элементы. Выходом в такой ситуации является использование модификации метода Гаусса - метода главных элементов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >