В помощь студенту и преподавателю

Решение типовых задач

Задача 1. Методом случайной повторной выборки для проверки на вес было взято 100 деталей. Установлено, что средний вес детали 42 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес детали в генеральной совокупности.

Решение

По условию задачи: п = 100; х = 42 п а = 4 г; F(z) = 0,954.

Генеральная средняя х отличается от выборочной средней х на величину предельной ошибки выборки Л*, по формуле (7.8).

Рассчитаем предельную ошибку с вероятностью 0,954 по формуле (7.7). Для этого определим коэффициент доверия 2.

Из табл. 7.3 получаем, что 2 = 2.

Теперь определим среднюю ошибку повторной выборки по формуле (7.1):

Тогда предельная ошибка выборки

Определим верхнюю границу генеральной средней:

Определим нижнюю границу генеральной средней:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали в генеральной совокупности находится в следующих пределах:

Задача 2. В районном центре проживает 2000 семей. Для разработки программы социальной защиты определялось среднее число несовершеннолетних детей в семье, была проведена случайная бесновторная выборка семей. С вероятностью 0,997 определить границы, в которых находится среднее число детей в семье в генеральной совокупности, если по итогам выборки получены следующие данные:

Число детей в семье... 0

1

2

3

4

5 Итого

Число семей.................15

30

20

4

2

1 72

Решение

По условию задачи N= 2000; п = 72; F(z) = 0,997.

Из табл. 7.3 2 = 3.

Чтобы определить границы генеральной средней, необходимо рассчитать выборочную среднюю и предельную ошибку выборочной средней.

Рассчитаем среднее число детей в семье и дисперсию оценки числа детей по данным выборки, используя формулы

Составим расчетную таблицу.

Таблица для расчета среднего числа детей в семье и дисперсии оценки числа

детей но данным выборки

Число детей в семье (*,)

Число семей (/)

х/

(?*, ~х)2

0

15

0

1,69

25,35

1

30

30

0,09

2,7

2

20

40

0,49

9,8

3

4

12

2,89

11,56

4

2

8

7,29

14,58

5

1

5

13,69

13,69

Итого

72

95

X

77,68

Определим среднюю ошибку бесповторной выборки по формуле (7.2):

Тогда предельная ошибка

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднее число детей в семье в районном центре находится в границах:

Задача 3. В городе с 700 тыс. жителей методом случайного бесповторного отбора обследовано 40 тыс. жителей. Установлено, что 15% жителей имеют возраст старше 60 лет. С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится доля жителей города старше 60 лет.

Решение

По условию задачи N = 700 000; п - 40 000; о) = 15% = 0.15; F(z) = 0,95.

Тогда из табл. 7.3 z = 1,96.

Генеральная доля р определяется по формуле (7.9). Чтобы по формуле (7.7) рассчитать предельную ошибку доли, найдем среднюю ошибку доли для бесповторного отбора по формуле (7.4):

Тогда предельная ошибка (формула (7.7))

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля жителей в возрасте 60 лет находится в пределах: (15-0,4)% < (15+0,4)%, т.е. 14,6% <р< 15,4%.

Задача 4. В населенном пункте проживает 4000 семей. В порядке случайного бесповторного отбора определить средний размер семьи при условии, что предельная ошибка выборочной средней не должна превышать 0.7 человека с вероятностью 0,99 и средним квадратическим отклонением 2,0 человека.

Решение

По условию задачи N=4000; Д= 0,7; а = 2; F(z) = 0,99.

Из табл. 7.3 z = 2,58.

Расчет необходимого объема выборки произведем вначале для повторного отбора по формуле (7.15):

Численность выборки 54 семьи не превышает 5% генеральной совокупности, гак как . Следовательно, при расчете объема выборки не требуется переходить к формуле для бесповторного отбора.

Задача 5. Отдел контроля за качеством продукции на электроламповом заводе должен оценить среднюю продолжительность горения лампочек, выпускаемых заводом. Для контроля отобрано 25 ламп из партии, выпущенной за день. Средняя продолжительность их работы составила 350 ч, среднеквадратическое отклонение — 70 ч. Определить доверительный интервал средней продолжительности работы ламп, выпущенных в этот день, с вероятностью 0,95.

Решение

По условию задачи п = 25; х = 350 ч; а = 70 ч; Р{Т) = 0,95.

Поскольку N < 30, то рассчитаем предельную ошибку малой выборки с вероятностью 0,95 по формуле (7.24). Для этого определим табличное значение {-критерия по таблице распределения Стьюдента (см. табл. П.2 в приложении) для числа степеней свободы df= п - 1 = 25 — 1 = 24:

Среднюю ошибку малой выборки определим по формуле (7.21):

Тогда предельная ошибка выборки (по формуле (7.24) Дмв = 14,29-2,064 = 29,5 (ч).

С вероятностью 0,95 пределы, в которых находится средняя продолжительность горения ламп, выпущенных за день, составляют: 350 - 29,5 < х < 350 + 29,5, или 320,5 ч < х < 379,5 ч.

Задача 6. Отдел технического контроля, производящего газированные напитки, желает выяснить с вероятностью 95%, что расхождение в объеме жидкости в двух литровых бутылках, выпускаемых на соседних конвейерах, несущественно. С первого конвейера отобрано 24 бутылки, средний объем которых составил 1,99 л при среднем квадратическом отклонении 0,05 л, со второго — 26 бутылок со средним объемом 1,97 л при среднем квадратическом отклонении 0,06 л.

Решение

По условию задачи и, = 24; хх = 1,99 л; а, = 0,05 л; п2 = 26; х2 = 1,97 л; а2 = 0,06 л; />(7) = 0,95.

Для оценки равенства средних значений в двух малых выборках рассчитаем 1-критерий по формуле (7.25):

Определим табличное значение {-критерия при уровне значимости Т = 0.05 и степени свободы df = 24 + 26 - 2 = 48: {таб = 2,0. Поскольку |{|< Гтоб, то расхождение в объеме жидкости в двух литровых бутылках, выпускаемых на соседних конвейерах, не существенно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >