Финансовые события и денежные потоки

Финансовые события и платежи. В этом параграфе мы введем два понятия, которые образуют своеобразный мостик между финансовыми величинами двух классов, введенными в предыдущем параграфе. Речь идет о финансовых событиях и финансовых (денежных) потоках.

В финансовой математике, как мы уже упоминали ранее, производят сопоставление некоторой денежной суммы С и момента времени, к которому она относится.

Определение 1. Пара (t, С), состоящая из момента времени (даты) t и значения суммы С, называется мгновенным финансовым событием или событием 1-го рода. Мгновенные события мы будем называть просто событиями.

Финансовое событие наглядно изображается либо отмеченной точкой на временной шкале, либо точкой на плоскости «время — деньги» (см. рис. 2.5).

Финансовое событие может иметь различную интерпретацию. Так, это может быть просто указание стоимости актива в данный момент времени. Но эго может быть и взнос (вклад, поступление) на счет или в фонд в некоторый момент времени t определенной суммы С. Это может быть также выплата (изъятие) со счета или фонда некоторой определенной суммы в момент времени t. В первом случае значения С обычно записываются положительными, а во втором случае — отрицательными числами.

Определенные выше события (1-го рода) являются формальным представлением мгновенных финансовых величин. Интервальные финансовые величины представляются событиями 2-го рода.

Определение 2. Пара (./, С), где J сТ — некоторый временной промежуток, а С е М — денежная сумма, называется интервальным событием или событием 2-го рода.

На временной диаграмме интервальное событие изображается, как на рис. 2.6.

Рис. 2.6

Хотя мы определили два вида финансовых событий, соответствующих двум типам финансовых величин, на практике во многих случаях, как, в частности, отмечалось в примере с выплатой дивидендов, можно в принципе обойтись лишь событиями 1-го рода. Так обычно и поступают на практике. Для этого используют преобразование интервального платежа в мгновенный платеж:

В простейшем случае величина платежа нс меняется, а преобразование заключается в выборе момента т актуализации этого платежа. На практике чаще всего используются два правила актуализации интервального платежа (/, С), где./ — промежуток с концами t_v t₂. В первом случае платеж С осуществляется в начале промежутка, т.е. т = t_v Такая схема актуализации называется авансированием. Во втором случае платеж С осуществляется в конце промежутка, т.е. т = t₂. Эта схема называется финализацией. Диаграммы обеих схем преобразований изображены на рис. 2.7.

Актуализация задает способ преобразования событий 2-го рода в события 1-го рода. Имеется еще один вид связи между такими «разнородными» событиями, состоящий в преобразовании событий 1-го рода в события 2-го рода. Речь идет об операторе изменения мгновенной величины за некоторый

Рис. 2.7

промежуток времени J =[t_lf t₂]. Если нам известны два события (t_x,C)>(t₂,C₂) (1-го рода), соответствующие состояниям фондовой величины в моменты t_{t t₂, то можно определить

событие 2-го рода (/, С), где — изменение величины С на промежутке/.

Финансовые потоки. На практике изолированные события рассматриваются редко. В большинстве случаев в финансовой сделке участвует не одно, а множество событий. Определение 3. Последовательность

финансовых событий называется (дискретным) финансовым или денежным потоком 1-го рода и обозначается символом CF (от англ, cash flow).

При п <оо — это конечный (дискретный) финансовый поток. В финансовой литературе рассматривают также и случай п = сю, т.е. бесконечные (дискретные) потоки, например так называемые вечные ренты.

Так, открытию счета на 1000 руб. и последующему снятию с него 400 руб. в конце 1-го и 300 руб. в конце 2-го года соответствует финансовый поток

В дальнейшем для заданной денежной шкалы мы обычно не будем выписывать знак денежной единицы в представлении финансовых событий и потоков.

Денежный поток наглядно изображается либо последовательностью отмеченных точек на временной шкале (рис. 2.8, а), либо точками на координатной плоскости (рис. 2.8, б).

Рис. 2.8

Изображения финансовых событий и потоков на временной шкале называют обычно временными диаграммами, а их изображения на плоскости — графиками.

Естественным образом определяются умножение финансового потока на некоторое число и сумма (объединение) двух финансовых потоков. Так, под результатом умножения финансового потока

на число а понимается поток

В свою очередь, результатом суммирования потоков СЕ, и CF₂ является поток СЕ, + СЕ₉, состоящий из всех финансовых событий , входящих в потоки

СЕ, и СЕ₂ соответственно, для которых моменты tf* и ^²⁾ различны, а также событий при

В последнем случае если в результате сложения сумм имеем, что cj^,)+cf⁾=о, то событие (tj, О) можно не включать в результирующий поток.

Моменты времени tj, для которых имеют место ненулевые платежи, мы будем называть критическими моментами. Таким образом, если Е ^— критический момент, то в финансовом событии [tj, CjJ должно выполняться условие С_; Ф 0.

Пример 1. Для финансовых потоков событий

и

найти финансовый поток 2CF_X + CF₂.

Решение. Прежде всего, выпишем поток 2CF_X

Тогда для потока 2CF_{ +CF₂ окончательно получаем

При этом событие (2; 0) мы опустили, так как моменту времени

t = 2 реально никакого финансового значения не приписано.

Согласно данному выше определению потока его события относятся к определенным моментам времени. Рассмотрим, однако, упоминавшуюся выше выплату дивидендов по акциям (или процентов по облигациям). Последовательность ежегодных выплат дивидендов можно также описать денежным потоком. Но дивиденды по своему содержанию являются выплатами за период, например за год. Поэтому с формальной точки зрения следовало бы определить еще один вид потоков, состоящий из платежей за период.

Определение 4. Интервальным финансовым потоком или денежным потоком 2-го рода называется последовательность событий 2-го рода

где J_v J₂y J_n — попарно ненересекающиеся промежутки времени.

На временной диаграмме (рис. 2.9) дается графическая иллюстрация денежного потока 2-го рода.

Рис. 2.9

Определенная выше операция актуализации событий 2-го рода легко переносится и на потоки. Применяя ее к каждому событию, из потока 2-го рода мы получим поток

1-го рода, т.е. обычный поток событий. Хотя в принципе выбор конкретной схемы актуализации (авансирования или финализации) может быть различным для разных событий, на практике обычно используют единообразную схему актуализации: либо авансирование для всех событий, либо финализация также для всех событий потока 2-го рода. Таким образом, в первом случае интервальный поток

CF превратится в авансированный (относительно последовательности промежутков,//,) поток событий

а во втором — финализированный поток

Пример 2. Для потока 2-го рода (рис. 2.10) найти соответствующие этому потоку авансированный и финализированный потоки событий.

Рис. 2.10

Решение. Авансирование потока CF дает поток Его диаграмма приведена на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Финализация потока CF дает поток Его диаграмма приведена на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Можно также рассматривать преобразование потоков 1-го рода в потоки 2-го рода. Один из общих подходов к такому преобразованию будет описан ниже, а здесь мы рассмотрим преобразование потоков, связанное с понятием изменения фондовой величины. Пусть

- поток событий, представляющий собой последовательность состояний некоторой фондовой величины. Тогда ему соответствует поток 2-го рода:

где — изменение S

на промежутке J_k.

Описанные операции чаще всего используются в теории рент, являющихся примерами так называемых регулярных потоков платежей.

Ренты. Регулярные потоки платежей естественным образом появляются во многих финансовых контрактах, сделках и операциях. Выплаты процентов по облигациям или по вкладу, выплата дивидендов акционерам, выплата пенсий участнику пенсионной схемы — все это примеры регулярных потоков платежей. В понятии регулярности потока есть два аспекта: временной и финансовый. Временной аспект связан с регулярностью моментов осуществления платежей, например платежи осуществляются в конце каждого месяца, квартала или года. Финансовый аспект связан с некоторой закономерностью в размерах самих платежей, например все платежи одинаковы, платежи монотонно растут на заданную величину или увеличиваются в заданное число раз, или, наоборот, уменьшаются и т.и.

Обычно потоки платежей, обладающие регулярностью платежей как по времени, так по величине, называют рентами. По своему смыслу рентные платежи, как отмечалось выше, являются интервальными величинами, поскольку относятся к периодам, а не моментам времени. Поэтому рента — это регулярный поток платежей 2-го рода. Выше было показано, как этот поток превращается в обычный поток платежей (поток 1-го рода или поток событий), который также называется рентой. Поскольку ренты играют очень важную роль в финансовом анализе, рассмотрим их более подробно. Начнем с определения.

Определение 5. Рентой называется интервальный поток (поток 2-го рода)

с последовательностью смежных промежутков называемых периодами ренты, одинаковой длины:

Число h называется (числовым) периодом ренты. Концы промежутков

называются критическими моментами ренты. Они образуют арифметическую прогрессию: t_n=t₀+n-h, /7 = 0, 1, ... . Момент t₀ называется началом ренты. Если рента имеет конечное число промежутков J_k (или платежей), то она называется срочной, в противном случае — бессрочной, или вечной. Конец t_n последнего промежутка J_п срочной ренты называется концом ренты. Число Т = t_n-t₀ называется горизонтом (шириной) ренты.

Некоторые платежи ренты могут быть нулевыми. Периоды, которым соответствуют ненулевые платежи, называются платежными, остальные периоды называются нулевыми {пустыми). Число платежных периодов называется сроком ренты.

Начало первого платежного периода ренты называется эффективным началом, а конец последнего платежного периода — эффективным концом ренты.

Таким образом, начало и эффективное начало ренты могут не совпадать. Если они совпадают, то рента называется немедленной, в противном случае она называется отложенной (или отсроченной). Если конец и эффективный конец ренты совпадают, то рента называется полной, в противном случае она называется сокращенной. На рис. 2.13, а изображена диаграмма отложенной, а на рис. 2.13, б — диаграмма незавершенной ренты.

Если все ненулевые платежи ренты равны, то рента называется постоянной. Если платежи ренты монотонно растут, то рента называется возрастающей если монотонно

Рис. 2.13

убывают, то — убывающей; и в том, и в другом случае рента называется монотонной. По характеру монотонности (убывания — возрастания) ренты делятся на арифметические и геометрические. Платежи арифметической монотонной ренты составляют арифметическую прогрессию:

а платежи геометрической монотонной ренты образуют геометрическую прогрессию:

Приведенные выше определения, как мы уже говорили,

задают ренту как поток CF 2-го рода. Но на практике, как было сказано, рента реализуется (актуализируется) как поток финансовых событий 1-го рода. Выше мы описали два правила актуализации, т.е. превращения интервального потока в поток (ренту) событий.

В первом случае все рентные платежи относятся на начала соответствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток называется авансированной, упреждающей рентой или рентой пренумерандо.

Во втором случае все рентные платежи относятся на концы соответствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток называется финальной, обыкновенной рентой или рентой постнумерандо. Обыкновенную ренту в отечественной литературе иногда называют задержанной. Термин «задержанная рента» не следует путать с ранее приведенным термином «отложенная (отсроченная) рента».

На оба описанных выше представления интервальной ренты как потока событий дословно переносятся все данные выше определения. Так, можно говорить о срочной постоянной обыкновенной ренте, отложенной возрастающей авансированной ренте и т.д.

Периоды ренты на практике обычно связаны с так называемыми стандартными календарными периодами, подробно рассматриваемыми ниже в этой главе. К ним относятся годовые, полугодовые, квартальные, месячные и т.д. промежутки. Ренту с годовым периодом обычно называют аннуитетом.

Иногда суммы, относящиеся к естественным периодам ренты, реализуются не одним платежом, а серией одинаковых (более мелких) платежей, равномерно распределенных по периоду ренты. Так, дивидендная рента по акциям с естественным годовым периодом часто выплачивается ежеквартально. Другим примером может служить купонная рента но облигациям. Годовой процент по облигациям, задаваемый купонной ставкой, часто выплачивается двумя одинаковыми платежами по полугодиям. Ренты такого вида называются р-кратными относительно базового периода ренты (обычно, года). Так, р-кратная рента с годовым периодом (т.е. аннуитет) и годовым платежом С реализуется в виде р одинаковых платежей величины С/р.

Па этом мы закончим краткий обзор основных понятий, относящихся к регулярным потокам — рентам. В последующих главах нам неоднократно придется с ними встречаться.

Большое внимание, которое мы уделили финансовым событиям и потокам, вызвано тем, что в современной финансовой теории понятие актива непосредственно связано с понятием потока платежей. По существу, с формальной точки зрения любой актив можно представить порождаемым им потоком платежей. Так, облигацию можно описать потоком, состоящим из всех процентных выплат и выплаты ее номинала в конце срока погашения, акцию можно отождествить с потоком выплат дивидендов и в случае продажи — вырученной суммой, недвижимость — потоком арендных платежей и т.д.

Рассмотрим, например, облигацию с номинальной стоимостью 1000 руб. и сроком погашения 3 года. Пусть купонная ставка равна 8% годовых и проценты (купоны) выплачиваются дважды в год в конце каждого полугодия, т.е. но истечении очередного полугодия нужно выплатить 40 руб. Тогда денежный поток, порождаемый этой облигацией, имеет вид, изображенный на рис. 2.14.

Рис. 2.14

Представление актива в виде денежного потока позволяет строить математические модели, описывающие количественные соотношения между основными характеристиками активов: их ценами, доходностью, риском и др. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких моделей.

Нетто-величина дискретного потока и простейшие балансовые модели. Согласно определению финансовые события, составляющие поток платежей 1-го рода, относятся к определенным моментам времени. Введем теперь характеристику, связанную с событиями потока, происходящими внутри некоторого промежутка времени.

Определение 6. Нетто-величиной потока платежей

на промежутке J называется величина

т.е. это просто алгебраическая сумма величин C_k тех платежей потока, моменты времени которых попадают в данный промежуток; символ NV является сокращением от англ, netto value.

Заметим, что здесь при определении промежутка времени важно указать, включаются ли в него или нет его границы. Например, для потока

для различных промежутков можно вычислить соответствующие нетто-величины потока:

Для нетто-величины потока имеет место очевидное свойство.

Свойство аддитивности. Если промежуток J равен сумме (объединению) непересекающихся промежутковJ,J₂.

то

В частности

Нетто-стоимость потока, как легко видеть, полностью определяет сам поток. В самом деле,

Таким образом, нетто-стоимость является еще одной и, как увидим ниже, более общей формой задания финансовых потоков.

Счета, фонды их состояния и динамика. Многие модели финансовой математики основываются на понятии счета. Формально счет задается функцией времени

где ,/сТ - некоторый временной промежуток (период действия счета), а 5(/)еМ — состояние (сумма) счета в момент t. Обычно динамика счета определяется заданием некоторого начального состояния 5₀ в некоторый начальный момент ?₀ времени и внешним потоком CF платежей С_п поступающих на счет или исходящих со счета в последующие моменты времени t > t₀. При этом состояние счета может изменяться непрерывным образом (функция S(t) — непрерывная) или скачкообразно в критические моменты (моменты платежей) дискретного потока CF. Поскольку большая часть книги посвящена моделям с дискретными внешними потоками платежей, то остановимся более подробно на понятии состояния счета S (например, на стоимости фонда или некоторого актива в данный момент времени). Дело в том, что при работе с дискретными потоками это очень «тонкий» вопрос. Для пояснения этого рассмотрим следующий пример.

Пусть инвестор имеет на счете в банке 500 руб. В некоторый момент времени t_Q он вносит еще 100 руб. Каково состояние счета в этот момент времени? Следует помнить при этом, что мы работаем с моделью, т.е. идеализированным представлением процесса формирования счета. Поскольку в модели поступление новой суммы считается мгновенным, то мгновенно должно измениться и состояние счета. Таким образом, у нас возникает неопределенность: считать ли состоянием в момент времени t₀ начальное значение 500 руб. или же новое пополненное значение 600 руб.? На практике такого вопроса не возникает, поскольку пополнение счета не мгновенный акт, а процесс, имеющий длительность. Однако в математической модели необходимо сделать выбор и дать соответствующее определение состояния. В принципе возможны три варианта.

В первом из них предлагается считать состояние просто неопределенным в моменты поступления или изъятия сумм, но этот подход не очень удобен.

Во втором варианте состояние в момент t₀ совпадает с непосредственно предыдущим. Математически это записывается в виде

где

есть предел слева S(t) в точке ?₀. Это значит, что функция S(t) является непрерывной слева в точке t_Q.

Для нашего примера это соответствует выбору состояния счета в момент ?₀, равного 500 руб.

Наконец, в третьем варианте состояние в момент ?₀ считается совпадающим с «непосредственно следующим за ним» состоянием. Это значит, что

где

есть предел справа функции S(t) в точке t₀. В этом случае S(t) непрерывна справа.

В нашем примере это соответствует состоянию счета в момент t₀, равному 600 руб.

Таким образом, во втором варианте состояние счета в момент ?₀ «не реагирует» на поступление, а в третьем варианте оно — «завершенное», т.е. то, в котором уже учтено поступление на счет, происшедшее в данный момент времени.

Следует отчетливо понимать, что вопрос о том, какое состояние на самом деле, бессмыслен. Но, строя матсматическую модель, нам необходимо дать соответствующее определение состояния.

Здесь и в последующем мы выбираем третий вариант - завершенного состояния.

Фонды. Финансовые или денежные потоки обычно имеют источники, т.е. финансовые средства, ресурсы, запасы, которые порождают эти потоки, и приемники или цели, куда эти потоки поступают. Источники и приемники можно представлять себе в виде резервуаров, накопителей денежных ресурсов, т.е. с позиции финансовой математики это просто фонды.

Текущая величина (объем) фонда есть просто стоимость имеющихся в данный момент в фонде активов. Это — величина первого класса. Денежный поток, связанный с фондом, может менять его величину в течение некоторого промежутка времени. Если положительные значения из потока рассматривать как входной поток, а отрицательные — как выход- ной, то исходный денежный ноток разобьется на два потока: один — поступающий (втекающий) в фонд, а другой — исходящий (вытекающий) из него. Первый увеличивает, а второй уменьшает объем фонда. За данный промежуток времени изменение величины фонда в точности равно алгебраической сумме платежей потока за этот же промежуток.

Математически этот факт отражается следующим образом. Пусть V₀ — начальная величина фонда, B.V_t — величина фонда в момент времени t. Тогда для любого потока CF, связанного с фондом, будет справедливо соотношение

которое называется уравнением баланса.

Далее, пусть t_x и t₂ — произвольные моменты времени и t_{ 2. Тогда из соотношения (2.4) с учетом свойства аддитивности нетто-величины потока событий следует, что

Таким образом, получим соотношение

которое также называется уравнением баланса.

Уравнение (2.5) есть просто выражение «закона сохранения». В самом деле, разность V_t. -V, есть изменение объема фонда за промежуток времени [t_v ?₂] > ^а объем фонда в этом промежутке изменится ровно настолько, сколько денежных средств поступит (или уйдет) в (из) него. Нетто- величина потока как раз и дает общий баланс поступлений и изъятий фонда.

В качестве примера рассмотрим снова поток

Считая, что величина фонда в момент времени t = 0 составляет V₀ =500 (руб.), мы можем найти состояние фонда в любой другой момент времени. Так, например,

и т.д.

Приведенные выше определения и вычисления, отражающие зависимость величины фондов от соответствующих потоков финансовых событий, не учитывают временную стоимость денег. Это чисто балансовые или, как еще говорят, бухгалтерские, книжные соотношения. Существуют более сложные соотношения, учитывающие и фактор времени в том смысле, о котором говорилось ранее. Так, величина фонда может изменяться не только из-за временных поступлений, но из-за изменения стоимости активов фонда. В дальнейшем мы займемся изучением такого рода изменений, после чего мы сможем получить выражение для связи фондовых и потоковых характеристик, учитывающих временную стоимость денег.