Учетные ставки в схеме сложных процентов

Выше мы определили модель накопительного счета в терминах процентных ставок. Ранее было введено понятие учетной ставки w за период и нормированной учетной ставки (I. Ниже мы попытаемся разобраться, как это понятие применимо к схеме сложных процентов.

Хотя построение модели накопления выглядит более естественным при использовании процентной ставки, тем не менее ее также легко выразить в терминах учетной ставки. Схема описания учетной модели накопления полностью идентична процентной схеме.

Выберем период временной шкалы, которую назовем учетным периодом. Его длину в выбранной временной шкале обозначим через /?. Учетную ставку за этот период обозначим через dh. Разобьем временную шкалу на периоды длины h «кратными» точками: t„ =t0 +nh, п = 0, 1, 2, ... Тогда состояния счета в концах k-ro учетного периода будут связаны соотношением

Отсюда немедленно следует соотношение Коэффициент

называют учетным коэффициентом дисконтирования.

Формулы (8.47) и (8.48) выражены в «учетных периодах». Непосредственно во временной шкале они запишутся в виде

и

Как и для случая «процентной модели», приведенную учетную модель можно «продолжить» с дискретного множества кратных точек на всю шкалу. При этом в непрерывной модели состояния накопительного счета в моменты времени т и t связаны соотношением

Учетную ставку dh за период h можно задавать с помощью нормированной номинальной учетной ставки d, которая связана со ставкой за период соотношением

Число

называют кратностью учета. При задании (нормированной) номинальной учетной ставки указывают либо учетный период h, либо кратность учета т.

Заметим, что определяющим для учетной схемы является процесс дисконтирования (учета), а не роста. Таким образом, естественное направление времени в учетной модели противоположно естественному направлению в процентной модели, поскольку дисконтирование есть переход от будущего к прошлому.

Пример 9. Пусть учетный период равен году, а учетная ставка за год равна 20%. Если состояние накопительного счета в конце 10-го года равно 5000 руб., каково состояние счета в конце 5-го и 3-го годов?

Решение. Согласно формуле (8.48) имеем и

Несмотря на естественность обратного направления времени в учетной модели, можно конечно, находить не только прошлые, но и будущие (накопленные) значения счетов.

Пример 10. В условиях предыдущего примера найти состояние счета к концу 15-го года.

Решение. Согласно формуле (8.48)

Отсюда получаем уравнение и, значит,

Фактически это означает наличие соответствий между учетными и процентными ставками за период

или

о которых говорилось в гл. 5. Эти соотношения позволяют легко переходить от расчетов по учетной ставке к расчетам но процентной ставке и наоборот. Для h = 1, в частности, имеем a = v~K Ниже мы будем использовать подходы, основанные на капитализации (процентной ставке) и дисконтировании (учетной ставке), как взаимозаменяемые.

На этом мы закончим изложение теории учетных ставок для сложных процентов. Заметим лишь, что результаты для учетных ставок в основном могут быть получены по аналогии с процентными ставками.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >