Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов

Ранее было получено, что изменение со временем состояния накопительного счета в непрерывной модели сложных процентов описывается выражением

где ih — ставка начисления за период Л, а /эф = ify — соответствующая эффективная нормированная ставка. Выбор вида ставки, но существу, безразличен, так как каждая из ставок однозначно определяет другую. Ради упрощения в этом параграфе будем использовать в основном нормированную (эффективную) ставку, которую будем обозначать просто символом i.

Сумму St называют будущим или накопленным (к моменту t) значением суммы StQ. В операторной форме (8.53) записывается в виде

или даже просто

где я = 1 + г — нормированный (эффективный) коэффициент роста.

Строго говоря, оператор FVt преобразует, конечно, не сумму StQ, а финансовое событие (t0, StQ V но на практике, как уже неоднократно отмечалось, обычно говорят о суммах.

Нахождение будущих (накопленных) сумм связано с «движением вперед» вдоль временной шкалы от прошлого к будущему. Но как уже отмечалось в предыдущих главах, часто приходится решать в некотором смысле обратную задачу, например об определении требуемого размера инвестиций. Каков должен быть объем начальных инвестиции StQ, чтобы при заданной (например, эффективной нормированной) ставке начисления i ее будущее значение к моменту t в точности совпало с требуемым значением St. В некотором смысле мы уже решали обратную задачу подобного типа в гл. 3 при анализе кредитной сделки, а также в гл. 4 для схемы простых процентов.

Как мы помним, искомое значение называется в этом случае приведенным или дисконтированным значением суммы Sr Этот факт записывается в виде

Сумму St() называют также текущим (сегодняшним, настоящим) значением суммы Sr

Обозначение FVt, как мы уже говорили ранее, используется в современной финансовой литературе для приведения событий не только к прошлым (по отношению к нему), но и любым, в том числе и будущим, моментам. Поэтому в тех случаях, когда требуется подчеркнуть тот факт, что речь идет именно о дисконтировании, употребляют также обозначение DVt (discont value). В этом параграфе мы, отдавая дань традиции, будем использовать для оператора текущего (дисконтного) значения символ FVt.

Поскольку равенство

равносильно по определению равенству

то нахождение StQ сводится к решению последнего уравнения относительно StQ.

Рассмотрим следующий пример. Допустим, что вы желаете накопить вполне определенную сумму за несколько лет, и пусть речь идет о сумме 1000 руб. и 5 годах. Далее, пусть банк, которому вы вполне доверяете, принимает срочные вклады с ежегодными начислениями процентов по ставке 8% в год. Не желая откладывать больше денег, чем это необходимо для поставленной цели, вы хотите знать, какую сумму вам необходимо положить в банк, чтобы осуществить вашу цель. Обозначив через S0 искомую сумму, мы немедленно получим для нее уравнение

откуда

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении текущего значения в общем виде. Пусть St известное или требуемое состояние счета в некоторый будущий момент времени. Из выражения (8.54), принимая во внимание выражение (8.53), имеем, что

В упрощенной форме, если нет неоднозначности толкования, равенство (8.57) будем записывать в виде

Если вместо нормированной ставки используется ставка начисления или номинальная ставка, то для использования выражений (8.54), (8.58) необходимо сначала перейти от этих ставок к соответствующей эффективной ставке. Это легко сделать самостоятельно.

Таким образом, нахождение будущих значений связано с движением вперед но временной шкале, а настоящих значений — с движением назад.

Пример 14. Пусть банк платит 12% годовых (эффективно) по сложным процентам. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы накопить сумму в 1000 руб.: а) за 2 года; б) за 2,5 года при непрерывной схеме начисления.

Решение. Будем считать, что t0 =0. Кроме того, из условия примера следует, что h = 1 год.

а) В этом случае t = 2 и, следовательно, имеем

б) Здесь t = 2,5, поэтому получаем

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >