Динамика

Основные аксиомы динамики

Динамика есть часть теоретической механики, изучающая механическое движение тел в зависимости от сил, влияющих на это движение. Динамика основывается на ряде положений, являющихся аксиомами и называющихся законами динамики.

Первый закон динамики, называемый аксиомой инерции или первым законом Ньютона, в применении к материальной точке формулируется так: изолированная материальная точка либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

Было установлено, что при прямолинейном равномерном движении ускорение материальной точки равно нулю, то есть изолированная материальная точка не может сама себе сообщить ускорение. Это свойство тел называется инерцией или инертностью. Можно сказать, что инерция или инертность есть способность тела сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной, в том числе и скорость равную нулю.

Изменить скорость, то есть сообщить ускорение, может лишь приложенная к телу сила.

Зависимость между действующей силой и ускорением тела

Рис. 31. Зависимость между действующей силой и ускорением тела: а - одна сила; б - несколько сил

Зависимость между силой и сообщаемым этой силой ускорением устанавливает второй закон динамики или второй закон Ньютона: ускорение, сообщаемое материальной точке силой, имеет направление силы и пропорционально её модулю (рис. 31, а).

Второй закон Ньютона выражается формулой

Р -та или Р -та.

Коэффициент т представляет собой массу материальной точки. Из этого закона следует, что чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой её инертности.

Применяя второй закон Ньютона к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, получим

где g - ускорение свободного падения.

Из приведенного выражения следует, что масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой скалярную величину, имеющую всегда положительное значение и не зависящую от характера движения.

В динамике используют также аксиому независимости, которая формулируется так: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил её ускорение будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. 31, 5), то есть

где R - равнодействующая сил Р/, Р* Ру, ..., Рт, приложенная к рассматриваемой точке.

Проецируя векторное равенство второго закона Ньютона на две взаимно перпендикулярные оси координат х и у, получим уравнения плоского движения материальной точки в координатной форме:

Проекции ускорений на координатные оси записываются в следующей форме:

тогда

С помощью введенных уравнений решаются две основные задачи динамики:

1) по заданному движению точки определяют действующие на нее

силы;

2) зная действующие на точку силы, определяют её движение.

В случаях, когда при решении задач имеем дело с несвободной материальной точкой, необходимо применять принцип освобождаемости, то есть отбросить связи, заменяя их реакциями, учитывая последние в уравнениях движения наравне с действующими на точку активными силами.

Пример 7. Определить силу, действующую на тело массой да = 1,5 кг, движение которого выражается уравнениями: х = 4/; у = 2 + / - б*2 (х и у - в сантиметрах, г - в секундах).

Решение. Задано движение тела, поэтому данный пример относится к первой задаче динамики.

1. Определяем проекции ускорения на координатные оси:

2. Подставляя эти значения в уравнения движения материальной точки, получим проекции сил Рх и Р„ то есть

3. Модуль силы Р равен

4. По проекциям видно, что она параллельна оси у (так как х = 0) и направлена в сторону, противоположную оси у (так как сила Ру отрицательна).

Пример 8. На материальную точку массой т = 10 кг, лежащую на гладкой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила Р ~ 20 Н. Определить скорость движения точки через время t - 10 с, если точка начала двигаться из состояния покоя.

Решение. Так как заданы силы, пример относится ко второй задаче динамики.

1. Так как точка лежит на гладкой горизонтальной поверхности, то под действием силы Р точка будет двигаться равноускоренно. Направив ось х вдоль траектории точки, запишем уравнение движения и найдем ускорение:

2. При равноускоренном движении скорость будет

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >