Напряжения и деформации при кручении

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения т, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Точка С (рис. 58) поперечного сечения бруса, до деформации лежащая на некоторой образующей ЕС, проведенной внутри на расстоянии р от его оси, под действием момента т смещается в положение ЕС. Сдвиг CCj характеризуется углом у, поэтому можно записать:

Касательные напряжения при кручении

Рис. 58. Касательные напряжения при кручении

Однако, в силу незначительности деформаций можно записать, что у = tgy , тогда

С другой стороны дугу СС|, можно выразить как центральную дугу, соответствующую углу поворота ср, то есть

Приравнивая оба значения дуги CCi получим

откуда

то есть угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси кручения. При ругол сдвига принимает максимальное значение и имеет вид

Применяя закон Гука, имеем:

или выражая т через ттм находим закон изменения касательного напряжения в поперечном сечении, то есть

Из формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону.

Величину касательных напряжений в зависимости от крутящего момента в данном поперечном сечении можно найти из следующих соображений. Пусть dF- площадь элементарной площадки сечения F (рис. 59).

В этом случае внутренняя сила, расположенная на расстоянии р от оси кручения до этой площадки, будет

Диаграмма касательных напряжений при кручении

Рис. 59. Диаграмма касательных напряжений при кручении

а ей момент

Крутящий момент по всему сечению будет

Подставляя в данную формулу значение касательного напряжения, имеем:

Известно, что

есть полярный момент инерции.

Тогда

откуда максимальное касательное напряжение будет равно

или учитывая, что , получим касательное напряжение в любой

точке сечения, то есть

Разделив в формуле числитель и знаменатель на радиус

г, получим

Из эпюры распределения касательных напряжений сечения (см. рис. 59) видно, что внутренние волокна бруса близкие к оси кручения испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми. Угол закручивания (р (см. рис. 58) находим, исходя из закона Гука, то

есть

Произведение GIp называется жёсткостью сечения при кручении.

Угол закручивания <р измеряется в радианах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >