Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow КАТЕГОРНАЯ ЛОГИКА
Посмотреть оригинал

Модальная логика в MN-категориях

Поскольку модальные системы содержат аксиомы классической логики, то ясно, что их категорная интерпретация будет основываться на N-категориях, наделенных дополнительной структурой.

Определение 1. MN-категория представляет собой N-категорию С, снабженную дополнительно ковариантным функтором М: С —> С, таким, что:

  • (i) M[a,b] = [Ма,МЬ] (функтор М сохраняет конечные произведения),
  • (ii) для любого а из С существует стрелка а —> Ма в С,
  • (ш) функтор М2 естественно эквивалентен функтору М, т.е.

IVfzM,

(iv) М 0 s 0.

Скелетоном MN-категории является топологическая булева алгебра.

Определим еще один ковариантный функтор L: С С как композицию функторов М и N следующего вида: L = N М N (т.е. La = NMNa). MN-категории обладают следующим свойством:

L{a,b) = {La,Lb), т.е. L сохраняет конечные произведения. Словарь перевода высказываний в MN-категорию выглядит следующим образом:

Напомним, что основной прием перевода в N-категории заключается в том, чтобы переводить аксиомы, содержащие несколько связок импликации, в стрелки, заменяя все импликации на =>, кроме самой внешней, которая заменяется на категорную стрелку

Определение 2. Пусть С и С' будут две MN-категории (с функторами М,N и МЛГ соответственно). MN-функтором F.C —» С будет называться функтор, для которого имеет место (для а, Ь, в С и для Г в С*):

  • 0)
  • (И)
  • (iii)
  • (iv)

Как и раньше, с помощью соответствующей модификации метода дедекиндовых сечений для N-категорий доказываются следующие два предложения:

Предложение 1. Каждая MN-категория имеет полное расширение (полнота означает здесь наличие бесконечных произведений).

Предложение 2. Пусть А, В, С будут MN-категориями, причем В есть расширение А и С полна. Любой MN-функтор F: А —>С может быть расширен до MN-функтора Н: В -> С.

С далее будет означать MN-категорию.

Пусть р будет объектом из С и обозначим как Ср категорию

с теми же самыми стрелками, что и в С. Заметим, что при этом р = Мр и хр есть стрелка в С для всех х из С,,. Если мы определим NP: Ср —>Ср как Nf>x = [Nx,p], то получаем, что Np будет представлять собой контравариантный функтор, откуда пара (CP,NP) становится MN-категорией с р в качестве терминального объекта и теми же самыми копроизведениями, что и в С. Определив теперь Мр: Ср—*Ср как МрХ = (NMx.p), получаем ковариантный функтор М,„ так что (CP,NP,MP) становится MN-категорией. Подобные категории С, являются очевидными обобщениями понятия главных идеалов топологической булевой алгебры.

Пусть Е будет непустой совокупностью элементов С. Для п>2 рассмотрим

и определим

Доказательство следующих свойств очевидно:

Ec(E);

если E = {p}, то (E) = Ep,

(E) = С тогда и только тогда, когда 1 е(?) тогда и только тогда, когда существуют объектыpt,..., р„ е Е, такие, что [р, ...,р„] = 1;

еслиp,qe(E), то p,q]e(E)',

еслире(Е), то Ер с (Е).

Отметим, что эти (?) являются просто MN-категориальными переводами идеалов топологической булевой алгебры.

Отношение ~?, определенное как p~Eq тогда и только тогда, когда [(p,Nq),(Np,q)]e(E), есть отношение эквивалентности, по которому можно образовать фактор-множество С/{Е). Если мы определим в С/щ, что

1И1 —> IMI есть стрелка С/тогда и только тогда, когда

то С/(?) становится категорией предпорядка. Если мы определим Ne: С/(?) -> С/(?) как Nex = Nx, то Nr: будет контравариантным функтором, откуда пара (C/^.Afe) становится N-категорией с ||1|| в качестве терминального объекта и копроизведениями

тмь=ы.

Определим теперь МЕ С/^ —> С/) посредством /И^ЦхЦ = ||Мс||, откуда МЕ есть ковариантный функтор, а тройка (С/(е^е,Ме) образует MN-категорию. При этом очевидным образом L?||x|| = ||Lx||. Справедливо следующее предложение:

Предложение 3. F: С—>С/(?), определенный с помощью Fx= ||дс||, есть MN-функтор.

Определение 3. (Е) является максимальным, если не существует такого Е'с: С, что (?) с (Е') с С.

Свойства (?) означает, что это семейство интерпретируется как множество всех опровержимых высказываний теории. Из элементов Е, называемых ко-аксиомами, выводятся опровержимые высказывания. Отношение ~Е определяет «меру опровержимости», поскольку оно гласит, что

х ~е у тогда и только тогда, когда «(х л —>у) v (у л -л)» опровержимо.

Точно так же истолковывается определение ||х|| —> |[у|| в С/: если мы хотим, чтобы -orvy было доказуемо, мы должны требовать, чтобы N[Nx,y] было опровержимо.

Определение 4. MN-категорная интерпретация логики высказываний есть пара (С,(?)), описывающая множество высказываний вместе со множеством опровержимых высказываний.

Рассмотрим теперь пару (С,(?)), являющуюся согласно вышеприведенным построениям категорным переводом модальной логики.

Определение 5. Пусть В будет нетривиальной MN-категорией. Б-оценка есть MN-функтор V: С —> В. Элемент реС называется истинным при V, если V(p) = 0. (С,(?)) семантически непротиворечива, если существует оценка V, такая, что реЕ влечет V(p) = 0.

При этих условиях легко доказать, что V(p) = 0 для всех ре(Е), а также, что применение ||У||: С/(е) —?? У, задаваемого как ||У|| ||р|| = Vp, определяет MN-функтор.

Определение 6. Моделью (С,(?)) называется Б-оценка У, такая, что V(p) = 0 для всех ре?.

Говоря кратко: модель теории есть структура, в которой аксиомы теории являются значимыми. Тогда (С,(?)) является семантически непротиворечивой тогда и только тогда, когда (С,(/Г)) имеет модель.

Теорема 1. (С,(?)) семантически непротиворечива тогда и только тогда, когда (Е) является собственным.

Доказательство. Пусть (С,(?)) на самом деле будет семантически непротиворечива и пусть Уесть ее модель. Поскольку У(1)=1

(по свойству MN-функтора) и поскольку 1 $ 0 в силу нетривиаль-

ности Б, то 1 g(?)) и поэтому (?)) является собственным. Наоборот, пусть (Е)) будет собственным. Мы должны сконструировать модель для (С,(?)). Покажем, что существует Е' с С, такое, что (Е) с (?'), где (.Е') является максимальным (собственным). Определим теперь Н = {(D): (?) с (D) ф С}.

Н непуста, потому что (Е)еН. Более того, если (Da) есть семейство элементов Н, тотально упорядоченных по включению, тогда u(Da) = (u(Da))eH. По лемме Цорна Н имеет максимальный элемент (?'). Так как (?'), то мы имеем либо, либо NMpe(E’) для всех реС. Теперь не составляет труда доказать, что отображение У: С —> Б, определяемое как

есть MN-функтор, который является моделью для (С,(Е)). ?

Определение 7. (С,(Е)) семантически полна, если выполняется следующее условие: ре(Е) тогда и только тогда, когда р истинно во всех моделях (С,(/Г)).

Теорема 2. (С,(Е)) семантически полна.

Доказательство. Аргументация та же, что и в случае классической логики, с учетом изменения понятия (С,(Е)) для случая модальной логики.

Ясно, что если реЕ, тогда V(p) ^ 0 для любой оценки V. Наоборот, пусть реЕ будет ложным для всех моделей (С,(Е)). Рассмотрим множество (Ей {Л//;}). Если (Eu{Np}) * С, то логика (С,(Ей{Л//?})) будет непротиворечивой, так что должна существовать модель V, которая ввиду (Е)с(Еи{Л//?}) будет также моделью (С,(Е)). Отсюда получаем противоречие: VNp = 0, потому что Npe(Eu{Np}); VNp = NVp = NO = 1, потому что V(p) = 0, так как р локально по отношению к V. Поэтому ) (Eu{Np}) = С, и, следовательно, ре(Eu{Np}). Отсюда следует, что существует qe(E), такой, что р -> [q,Np]. Но р[q,Np] есть стрелка в С тогда и только тогда, когда 1 = [Np,[q,Np]] = [p,Nq]] тогда и только тогда, когда р -> q, поэтому реЕ с= (Е). ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы