Краевые задачи диффузии

Дифференциальное уравнение диффузии устанавливает связь между' временным и пространственным изменением концентрации в любой точке среды, в которой происходит диффузионный процесс. Оно имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать одно, характеризующее рассматриваемый процесс, необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия. Геометрические условия определяют форму (пластина, сфера, цилиндр и др.) и линейные размеры тела. Физические условия определяют физические параметры: коэффициент диффузии, константу растворимости, объёмную плотность потока диффузанта. Краевыми условиями — совокупность начального и граничных условий. Начальные и граничные условия определяют поведение дифференциального уравнения в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области. Начальные условия важны только при изучении нестационарных процессов и состоят в задании распределения концентрации внутри тела в момент времени, выбранный за начальный. При расчёте стационарного процесса диффузии, начальные условия не используются. Граничные условия отражают условия диффузионного взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела.

Графическое изображение граничных условий

Рис. 5. Графическое изображение граничных условий.

Краевая задача — дифференциальное уравнение с заданными линейными соот- ношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования. Решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Задача Коши — задача теории дифференциальных уравнений; состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых являются уравнение и начальное условие). Замечание.Фундаментальное решение задачи Коши (функция Грина) для стандартного линейного уравнения теплопроводности представляет собой нормальное распределение (Гаусса) для плотности вероятности в пространстве. Статистические моменты от решения всегда конечны.

Начальное условие для дифференциального уравнения состоит в задании концентрации вещества в начальный момент времени. Если при этом вещество заполняет всё пространство, то получают задачу Коши. Если же диффузант заполняет объём V, ограниченный боковой поверхностью S, то, наряду с начальным условием, на S задаётся граничное условие.

Задание начального условия заключается в том, что для некоторого момента времени t=t0 (обычно полагают t0=о) должна быть известна функция C(x,y,z,t0)=fix>y>z) пространственных координат.

Начальное условие в общем виде:

C(x,y,z,o)=j{x,y^)

Частный случай: C=const; С{х,y,z,o)=C(0)=const.

Нулевое начальное условие: С(о)=о.

Граничные условия характеризуют значение функции С на границе изучаемой системы с внешней средой для любого момента времени. Если искомая функция является функцией нескольких пространственных координат, то граничные условия задаются по каждой из них. Граничные условия для изучаемой задачи могут быть заданы несколькими способами; существуют различают граничные условия I, II, III, IV родов. Следует помнить, что число граничных условий может превышать число границ. Так, в задаче по дегазации шара (одномерный случай), необходимо задать условия как на внешней поверхности сферы, так и в центре. Часто граничные условия задаются «на бесконечности».

В граничных условиях i-го рода (краевая задача I, задача Дирихле) требуется найти решения уравнения в некоторой области пространства, которое принимает на границе области заданные значения. Здесь задаётся распределение концентрации диффузанта по поверхности ?

тела, как функция координат и времени: Cs =(p(x,y,z,t).

Задача Дирехле- задача решения дифференциального уравнения, если известно значение искомой функции на всей границе области.

В одном частном случае концентрация на поверхности - фушкция только времени, в другом -только координат: если на границе тела всё

время поддерживать концентрацию С равную = 9y,z), то внутри

тела возникнет вполне определённый (единственный) концентрационный профиль диффу'занта: C(x,y,z).

При наличии двух плоскостей задаются две функции изменения концентрации диффузанта на входе в образец (например, в пластину толщиной Н). Тогда граничные условия первого рода принимают вид:

C(o,f)=С(н, 0=ф2(0-

Подобный режим в теории диффузии обозначается как граничная задача I-I.

В более простом случае - концентрация постоянна:

С?(г) = С0 = const.

Если концентрация на границе в процессе эксперимента поддерживается равной нулю, то вводится понятие поглощающей стенки.

CV =0.

В граничных условиях 2-го рода (краевая задача II, задача Неймана) задаётся распределение плотности потока диффузанта для каждой точки поверхности как функция координат и времени

Задача Нейлшна,вторая краевая задачав дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе областигранич)1ые условия второго рода.

В простейшем случае

где п — внутренняя нормаль к поверхности ?.

В задаче Неймана задано поведение производной (потока диффузанта) на границе исследуемого объекта. Важным частным случаем является отражающая стенка (отсутствие потока через внешние поверхности образца - условие диффузионной изоляции): поток ,/= о.

Если образец имеет две границы (например, тонкая пластина), то в зависимости от условий на его внешних поверхностях различают граничные задачи Н-И, I-II и II-I.

В центре шарика (сферы) поток отсутствует, следовательно, в центре - граничное условие Н-го рода (на поверхности -I-го рода).

Граничные условия з-го рода бывают линейными, нелинейными и нестационарными. Линейные граничные условия з-го рода (задача III, задача Робена) задают закон конвективного массообмена между поверхностью тела и окружающей средой в виде связи между искомой функцией и её нормальной производной на границе.

Общий случай:

В более общем случае граничное условие з-го рода:

где h - заданная константа, g - заданная функция, которая меняется вдоль границы. Поток, втекающий в область через границу пропорционален разности между концентрацией Си некоторой заданной концентрацией д. Это означает, что (при h>о): i) если концентрация С на границе выше концентрации в окружающей среде д, то вещество вытекает из области; 2) если С меньше концентрации д, то вещество втекает в область.

гдеС>: - концентрация на поверхности; Сс- концентрация диффузанта в окружающей среде, ks - коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность концентрационного взаимодействия среды с заданной концентрацией диффузанта Сс с поверхностью тела.

Урло является аналитическим выражением граничного условия 3-го рода, при котором на поверхности тела задаётся плотность потока диффузанта, возникающего из-за разности его концентраций на поверхности тела и в окружающей среде. Уравнение для упругой стенки подразумевает, что концентрация не мгновенно устанавливается на поверхности, а в процессе некоторого времени, т.е. граница оказывает сопротивление диффузионному потоку. Поток не является постоянным, а изменяется как разность между концентрациями в твёрдом теле и в окружающем объёме.

Граничные условия задачи III представляют собой общий случай. Из него может быть получены выражения для условий задач I и II.

Рис. 6. Пример задачи на граничные условия 4-го рода: концентрационные профили компонента В при многофазной диффузии в слоистой среде.

При сорбции Сх=0 < С,

При сорбции Сх=0 < С[)авп , при дегазации Сх=0 > Сравн .

При исследовании процессов диффузии в двустороннем образце возможно возникновение различных граничных задач (смешанные граничные условия): I-I, И-И, Ш-Ш, I-II, II-I, I-III, III-I, П-Ш, Ш-И, что может существенно затруднить обработку и интерпретацию данных диффузионных экспериментов. На практике обычно встречаются согласованные (однородные нулевые) граничные условия:

= 0 - поглощающая стенка;

— = 0 ” отражающая стенка;

дп 2

— + /?С| у = 0 “ упругая стенка.

дп

Граничные условия четвёртого рода(задача IV) — условия на поверхности контакта двух твёрдых тел. Они соответствуют массообмену поверхности тела с окружающей средой или массообмену соприкасающихся твёрдых тел и задаются в виде

где rt и Г2 - константы растворимости, а Д и D2 - коэффициенты диффузии диффузанта в соприкасающихся средах 1 и 2, соответственно. — оз-

дп

начает дифференцирование вдоль нормали к поверхности раздела.

Здесь первое уравнение задаёт разрывы концентрационного поля, а второе задает закон сохранения вещества на поверхности соприкосновения двух сред (потоки на границе должны быть равны друг другу).

Граничные условия 4-го рода используют при решении задач стационарной и нестационарной диффузии в многослойных телах с различными диффузионными и абсорбционными свойствами в каждом слое.

Возможны типы задач, в которых краевые или начальные условия не следует учитывать. К диффузионнойзадаче без граничных условий относится проницаемость газа через мембрану при ограниченном объёме камер на входе и/или выходе мембраны. В этом случае граничные условия непрерывно изменяются во времени как результат самого диффузионного процесса.

В определенных случаях пренебрегают точным учётом начальных условий. Действительно, влияние начальных условий ослабевает с течением времени. При этом, если концентрация веществ поддерживается постоянной на границе, то в момент времени, достаточно удалённый от начального, концентрация веществ определяется лишь граничными условиями. В этом случае можно считать, что опыт продолжается бесконечно долго, и возникает задача без начальных условий.

*__*__*

Феноменологическая теория "классической" диффузии базируется на двух законах Фика и законе Генри. Задание геометрии образца (и его размеров), граничных и начальных условий, величин коэффициента диффузии и константы растворимости полностью определяет диффузионную задачу и позволяет рассчитать эволюцию концентрационного поля в пространстве и времени, потоки диффузанта на входе и выходе образца, количество диффузанта в образце и т.п. Дифференциальное уравнение нестационарной диффузии относится к параболическому типу, а стационарной диффузии - к эллиптическому типу дифференциальных уравнений. Решить краевую задачу - значит найти все функции, удовлетворяющие данному дифференциальному уравнению и данным краевым условиям. Кроме вопросов существования и единственности решения важен ещё и вопрос о корректности краевой задачи.

Корректно поставленная задачазадача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво.

Примером типичных корректно поставленных задач является задача Дирихле для уравнения диффузии с заданными начальными условиями. Однако, обратная задача для уравнения диффузии — нахождение распределения концентрации по выходным данным — не является корректно поставленной. Некорректно поставленную задачу следует переформулировать; для чего вводятся дополнительные предположения (например, о гладкости решения). Данная процедура называется регуляризацией.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >