ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 2-го — 4-го РОДОВ

В данной главе рассмотрены способы решения диффузинных уравнений при граничных условиях выше i-го рода.

Граничные условия 2-го рода

Граничные условия 2-го рода (задача Неймана) возникают, если на поверхности образца постоянной поддерживается не концентрация, а поток диффузанта.

Диффузия в пластину.Если пластина -LL в начальный момент времени содержит равномерно распределённую концентрацию С(о) и диффузант поступает через обе поверхности с постоянной скоростью ,/0, т.е.

Общее количество диффузанта, проходящее в пластину через единицу площади в зависимости от времени, равно 2J0t.

Электрохимический вариант метода проницаемости. Граничные условия 2-го рода имеют место, например, в работе электролитической ячейки, в которой входная поверхность металлической мембраны находится в контакте с жидким электролитом и путём электролиза воды генерируются протоны, проникающие в металл и выходящие с противоположной стороны мембраны в виде молекулярного водорода. Поэтому в электрохимическом варианте водородопроницаемости металлов возникают краевые задачи типа II-I и Н-Ш.

В качестве примера краевой задачи типа II-I рассмотрим проницаемость пластины при справедливости применения классических законов Фика. Коэффициент диффузии будем считать постоянным. В процессе диффузии на входной поверхности мембраны (х=о) постоянен поток диффузанта, а на выходной поверхности мембраны (д:=Н) постоянна концентрация диффузанта (для простоты будем считать её равной нулю).

Решение уравнения Фика для нормированного (на стационарный поток) потока через плоскую мембрану при граничных условиях II-I, адаптированных к электрохимическому варианту метода водородопроницаемости, имеет вид:

- ряды, быстро сходящиеся при малых временах:

- ряды, быстро сходящиеся при больших временах:

здесь u=D/H*.

Рис. 1. Кривые прорыва: 1 — граничные условия 1-го рода; 2 — граничные условия 2-го рода (электрохимический вариант).

Замечание. В электрохимическом варианте обычно регистрируют не поток водорода, а электрический ток через мембрану. Переход от одного способа регистрации к другому осуществляют путём введения числа Фарадея.

«Особой» точкой на кривой проницаемости, j(t)t является точка перегиба этой кривой. Для её нахождения следует провести численное двойное дифференцирование зависимости j(t) (точка перехода через d2j(t)/dt2=o даёт время для точки перегиба).

Рис. 2. Определение точки перегиба на кривых проницаемости (зависимость второго дифференциала от кривой проницаемости от времени): 1 - граничные условия 1-го рода; 2 — граничные условия 2-го рода.

Легко показать, что время точки перегиба для задачи II-I при одинаковых значениях D и Яна 55,059% больше чем для задачи I-I.

В электрохимическом варианте метода проницаемости на вход мембраны подаётся постоянный поток диффузанта, что приводит к диффузионной задаче II-I: на входе мембраны - граничные условия 2-го рода, на выходе мембраны - граничные условия 1-го рода. На практике такие ситуации возникают, когда одна поверхность облучается пучком ускоренных ионов или в электрохимическом варианте метода проницаемости (мембрана одной стороной контактирует с водным раствором и на неё подан электрический потенциал, образующийся с постоянной скоростью водород проникает в исследуемый материал).

В задаче II—I интегральное распределение вероятности проницаемости:

Плотность распределения:

Первый начальный момент:

Табл. 1. Моменты электрохимического варианта проницаемости.

Начальные моменты

Центральные моменты

Основные моменты

1

и. = — = г 1 2 В

5 2

*шзг

61 з

и,- —г 3 15

277 4 г

г' (N I «П <4 1 го ? I ^ Т | 2

о И II II

II гг, ТТ

s * * 5

96

я-§=3-84

= 309 = з 35

Г, = 1.96 У 2 = 5,83

Л1

Здесь г, ---

L 2D

Рис. з. Нормированный на максимальное значение поток на выходе из мембраны при прохождении бесконечно тонкого импульса для граничных условий i-го рода (кривая l) и 2-го рода (кривая 2).

Электрохимический вариант метода проницаемости (или проницаемость мембраны, входная поверхность которой подвергается ионной бомбардировке) изображается на карте Бекмана точкой с координата-

ми(з,84;8,8з)-

Табл. 2. Значения параметров «особых точек» кривых проницаемости для граничных условий l-го и 2-го рода.

Граничные условия i-го рода Граничные условия 2-го рода

J

к

J

к

TL

0,6l66

6

TL

Ti

0,0211

22,1014

Ti

0,0855

16,3246

Хпер

0,2442

10,8990

Тпер

0,1665

6,0009

*3

0,50б0

7Д390

Тз

0,3601

3,5936

В электрохимическом варианте метода проницаемости, осуществляемом в водном растворе электролита, на вход металлической мембраны подаётся не концентрация, а поток диффузанта. Часто эксперимент проводится не на постоянном, а на переменном токе.

Пусть на входе в мембрану атомарный водород подаётся согласно функции:

где g)=2kv (рад/с), v - частота (герц)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >