НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ

В математическом аппарате диффузии часто встречаются нелинейные задачи, как правило, не имеющие аналитического решения. К ним относятся случаи зависимости коэффициента диффузии от времени, концентрации и координаты.

В данной главе рассмотрены некоторые типы нелинейных уравнений диффузии и обсуждены способы их решения.

Коэффициент диффузии — функция времени

Во многих практически важных ситуациях возникает необходимость описания диффузии при коэффициенте диффузии, зависящем от времени. Зависимость D(t) учитывают, если в процессе диффузии в материале образца протекают фазовые превращения, изоморфные переходы, твёрдофазные реакции, отжиг природных или радиационных дефектов, обрушение пористой структуры, набухание материала и т.п. На подобных зависимостях строится теория метода термодесорбционной спектроскопии, поскольку при нагреве образца коэффициент диффузии зависит от времени и температуры.

В случае зависимости коэффициента от времени уравнение диффузии записывается в виде

Решения этого уравнения можно получить из соответствующих решений при постоянном коэффициенте диффузии путём замены произве-

t

дения Dt интегралом j* D(t)cIt . В случаях, когда интеграл невозможно вы-

о

разить аналитически, прибегают к численному интегрированию. Диффузия при програмированном нагреве. В случае линейного нагрева (7=Го+Р0> диффузионное уравнение приобретает вид

В случае малых скоростей нагрева

Коэффициент диффузии - ступенчатая функция времени.

Рассмотрим диффузию с коэффициентом Д> в полупространство х>о в течение времени to, когда граничная концентрация равна С00. Концентрация в данном случае выражается формулой

Пусть в момент времени t0 начинается вторая временная выдержка длительностью t и с коэффициентом диффузии Di*D0 , причём начальное условие задаётся профилем концентрации, достигнутым в результате первой стадии диффузии Ci(x,o)=Co(x,t<>), а граничные условия - соотношением Ci(o,t)=Coi=const. Время отсчитывается с момента to. Тогда

Первый член в этом выражении представляет вклад от первой стадии с учётом изменения коэффициента диффузии. Второй член может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того, что больше: Сш или С0о- Полученное решение можно трактовать как суперпозицию двух независимых диффузионных процессов: первый - длительностью t0+t с коэффициентами i)0 и А с поверхностной концентрацией Со о, второй - длительностью от tQ до t0+t с поверхностной концентрацией С0- Соо- Если в момент времени t0 граничное условие становится нулевым (С01=о), а коэффициент диффузии не меняется, то

Эта формула соответствует удалению диффузанта из среды с х>0 в течение времени, начиная с t« в результате создания на контакте с поверхностью вакуума. С течением времени (t>t0) действуют два противоположно направленных потока - один к поверхности, другой - в глубь полубеско- нечной среды .Точка максимума рассматриваемой функции сдвигается с течением времени в сторону увеличения абсциссы по закону

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >