Элементы фрактальной геометрии

В настоящее время большинство теоретически или экспериментально обнаруженных отклонений от классического механизма диффузии (но не все!) интерпретируются в рамках геометрии фракталов. Коротко остановимся на её особенностях.

Фрактальная геометрия занимается объектами, которые одновременно характеризуются ломаной линией и самоподобны. В диффузии элементы геометрии фракталов используются в двух различных направлениях: во фрактальной диффузии (часто — ускоренной) и в диффузии по фракталам (обычно замедленной по сравнению с классической).

Начнём с некоторых определений.

Фрактал (nam.fractus - дробленый, разбитый) - бесконечно самоподобная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Это — самоподобное множество нецелой размерности, размерность Хаусдорфа- Безиковича которого строго больше его топологической размерности, дн>дг.

Фракталы — объекты с дробной (фрактальной) размерностью— обладают важным свойством — самоподобием: целая фигура подобна любому своему фрагменту'. Фрактал — множество с дробной размерностью, причём небольшая часть фрактала содержит информацию обо всём фрактале. Фрактальные объекты плотно занимают пространство, но не используют его полностью.

Как известно, геометрия строится на топологии пространства (размерность евклидова пространства d= 1, 2, 3). Если для евклидовой геометрии топологическая размерность - целое число №= о - точка, dr= 1 - гладкая плавая линия, dr= 2 - фигура и поверхность, dr=3- тело или пространство; топологическая размерность не превосходит размерность евклидова пространства, в котором находится данное множество dj то фрактальная размерность, df (размерность Хаусдорфа-Безиковича) может бытькак целой, так и дробной. Совпадая с топологической размерностью на идеальных объектах, фрактальная размерность обладает более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать то, что в евклидовой геометрии неразличимо. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и кривая с сильно изрезанной формой - все имеют топологическую размерность равную единице, тогда как размерность Хаус- дорфа-Базиковича различна и позволяет числом измерить степень извилистости. Фрактальная размерность (показатель скейлинга) описывает повторяемость геометрии (для регулярных фракталов) или статистических характеристик (для нерегулярных фракталов) при изменении масштаба. Скейлинг (автомодельность, самоподобие, масштабная инвариантность) - особая симметрия системы, состоящая в том, что изменение масштабов одних переменных может быть скомпенсировано преобразованием масштабов других.

Фрактальное самоподобие (скейлинг) повторение фракталом самое себя на разных масштабных уровнях.

Самоподобный объект — объект, совпадающий с частью себя самого (целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Самоподобное множество - множество, состоящее из нескольких компонент, подобных всему этому множеству; компоненты получают афинными преобразованиями — поворотом, сжатием и отражением исходного множества. Размерность Хаусдорфа-Базчковаича, daспособ определения размерности подмножества в метрическом пространстве. Согласуется с обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда они есть. Например, в трёхмерном эвклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — 1, размерность гладкой поверхности — 2 и размерность множества ненулевого объёма — 3. Для фрактальных множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом. Для самоподобных множеств эту размерность можно вычислить явно. Если множество разбивается на частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность — решение уравнения . Например, размерность множества Кантора равна (разбивается на 2 части, коэффициент подобия 1/3), размерность треугольника Серпинского — (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2), размерность кривой дракона — 2 (разбивается на 2 части, коэффициент подобия Д5 )•

Фрактальная размерностьд; — размерность, показывающая насколько плотно и равномерно элементы данного множества заполняют евклидово пространство (dj>dr). Обычно i

Для некоторого объекта отношение площади его поверхности, S, к объёму, V, можно представить в виде $ ^ r-J., где dj- показатель фрактала

V

(целое или дробное число). В геометрии Эвклида df- всегда целое число, а во фрактальной геометрии оно может быть как целым, так и дробным. Если для некоторого объекта df дробен, то онне обязательно фрактал. Объект относят к фракталам, если его структура самоподобна, масштабно инвариантна (обладает скейлингом).

Фрактал бывает детерминированным (геометрическим или алгебраическим) и случайным. Стохастический фрактал получают, когда в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Важный пример случайного фрактала — траектория броуновского движения.

Рис.1. Три примера фрактальных структур и их фрактальной размерности dj и размерность пространства d; а -кривая Коха (ф—4lg3~i>26, c/=i); б - салфетка- Серпинского (d^=3log2«i.s8, с/=2);в) - кривая Пеано

(d^4lg2=2,d/=i).

Типичными примерами фракталов, на которых удобно моделировать особенности диффузии являются кривая Коха, салфетка Серпинского и кривая Пеано (рис. l).

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов: траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве; граница траектории броуновского движения на плоскости (её размерность равна 4/3); эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции. Фрактальная геометрия успешно применяется для описания диффузии частиц аэрозоля (или коллоидных частиц) с развитой (фрактальной) поверхностью, массопереноса через барьеры с самоподобными несплошностями (типа переноса аэрозолей через лесозащитную полосу), распространения облака радиоактивных аэрозолей в холмистой местности или по долине реки. Расчёты переноса радионуклида в организме также часто проводятся в рамках фрактальной геометрии.

Роль фрактальной геометрии существенно возрастает при исследовании диффузии в сильно неоднородной среде и присутствии процессов адвекции. В этом случае, помимо классической диффузии, возможна реализация механизмов "аномальной" диффузии: субдиффузии (замедленная диффузия) и супердиффузии (ускоренная диффузия), феноменологическое описание которой строится на дифференциальных уравнениях с дробными производными, выражающимися через показатели фрактала.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >