Броуновское движение

Если имеет место нормальная (классическая) диффузия (в том числе - броуновское движение) неких частиц в идеальном газе других частиц, причём концентрация первых не очень велика, то их движение рассматривается как серия случайных смещений, причём все точки пространства одинаковы для рассматриваемых частиц и частица, находящаяся в центре окружности, может в следующий момент времени оказаться равновероятно в любой точке окружности. Каждая отдельная частица движется независимо от остальных частиц, причём движения одной и той же частицы в разные промежутки времени независимы друг от друга, пока эти промежутки не остаются слишком малыми.

При реализации механизма случайного блуждания средний квадрат расстояния точки нахождения в момент времени Гот точки начала блуждания (дисперсия распределения) зависит от времени по закону:

где а - константа, зависящаяот коэффициента диффузии и размерности пространства.

Обычно это выражениепредставляют как соотношение Эйнштейна- Смолуховского:

согласно которому средний квадрат смещения частицы линейно зависит от времени Г. Здесь D - коэффициент диффузии, Г время диффузии.

Отдельное смешение пропорционально корню из времени:

т.е. расстояние, которое преодолевает блуждающая частица за время Г,- случайная величина, кратная 4t .

Соотношение Эйнштейна выполняется в евклидовом пространстве любой размерности, даже если случайные положения частицы имеют распределение, отличное от нормального.Распределение величин диффузионных скачков является гауссовым, поэтому при аппроксимации классического блуждания прибегают к суммированию гауссовых случайных величин. При выходе из какой-либо точки эта траектория за сколь угодно малое время с вероятностью 1 бесконечно много раз возвращается в исходную точку; с течением времени Г броуновская траектория обходит все точки пространства с вероятностью 1; рассматриваемая на фиксированном отрезке [о, Г], эта траектория имеет тенденцию достигать экстремальных значений вблизи концевых точек. Производная процесса —белый шум.

Н.Винер доказал, что траектории броуновского движения почти не везде непрерывны, но нигде не дифференцируемы. Поэтому броуновское движение называют винеровским процессом.

Винеровский процессматематическая модель броуновского движения частицы в жидкости с непрерывным временем; однородный гауссов процесс с независимыми приращениями. Описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Дисперсия зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Винеровский процесс однороден во времени (правила случайной игры не меняются во время игры) и по пространству, а в ряде случаев к тому же пространственно-симметричен. Система без памяти - миграция зависит только от времени, и никак не зависит от предыдущего поведения системы, как это и предполагается в однородном марковском процессе: будущее процесса не зависит от прошлого при известном настоящем. Процесс классической диффузии масштабно инвариантен (самоподобен) и, следовательно, носит фрактальный характер. Заполняя плотно однородную двуи(х) = Г1'и(хГ,)-,

должно иметь конечную дисперсию

Фундаментальное решение уравнения для 2-го закона Фика при классической диффузии (решение при нулевых граничных условиях и бесконечной среде) представляет собой нормально распределение, дисперсия которого равна 2 Д а коэффициент диффузии

мерную область, траектории броуновского движения имеют фрактальную размерность df=2.

Траектории броуновской частицы в однородной среде (система са- моподобна и может быть охарактеризована показателем фрактала df)

Рис. 6. Траектории броуновской частицы в однородной среде (система са- моподобна и может быть охарактеризована показателем фрактала df).

Помимо статистического, применим и феноменологический под- ход.Уравнение Фоккера-Планка описывает эволюцию во времени плотности вероятности обнаружения броуновской частицы в некоторой точке пространства. Это дифференциальное уравнение второго порядка; оно применимо для гауссова белого шума. Общее уравнение Фоккера-Планка обычно выводят из уравнения Чепмена-Колмогорова. При отсутствии внешних сил уравнение Фоккера-Планка переходит в уравнение Фика.

К броуновскому движения предъявляются два требования:

— оно должно быть автомодельным

При относительно больших временах, и изменяется как корень квадратный от времени; а распределение и по координате характеризуется быстрым экспоненциальным спаданием при росте х.

В модели случайного блуждания частиц среда однородна, а её стохастические свойства проявляются в выборе функции распределения приращений координат блуждающей частицы. Если они происходят через одинаковые промежутки времени и функция приращений имеет конечную дисперсию, изменение со временем плотности пространственного распределения частиц описывается дифференциальное уравнение 2-го порядка:

где p(x,t)dx - вероятность того, что блуокдающая частица в момент времени t окажется в элементе сЬ: рассматриваемого пространства (p(x,t) — плотность распределения.

где р — первый начальный момент распределения (математическое ожидание, среднее арифметическое).

Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является l/a, а параметром сдвига- /у/а.

В случае многомерного пространства

— обладает конечной дисперсией: ||л|2p{x,t)dx < оо (и вообще всеми статистическими моментами закона прыжка).

Распределение величии диффузионных скачков является гауссовым: расплывание диффузионного пакета по закону f1/2 с экспоненциальным затуханием на бесконечности (экспоненциальные хвосты).

Модели случайного блуждания

Рис. 7. Модели случайного блуждания: а — броуновская диффузия; б — процесс Леви.

Таким образом, броуновское движение — однородный процесс с переходной плотностью p(x,t), являющейся фундаментальным решением параболического дифференциального уравнения.

Траекториями винеровского процесса являются непрерывные, нигде не дифференцируемые линии: диффузионный путь — бесконечно изломанную, без единого плавного участка линию. Длина участка такой траектории между' двумя любыми, даже близко расположенными на ней точками, бесконечна, и, следовательно, бесконечна скорость движения такой частицы. В реальных физических процессах таких траекторий не бывает, поэтому приходится искать другие подходы, некоторые из которых реализуются в моделях аномальной диффузии, фрактальной диффузии и диффузии по фракталам.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >