Фрактальное броуновское движение

Как уже упоминалось, классическое броуновское движение — процесс без памяти. Однако, математическое моделирование показало, что броуновские частицы в ходе миграции оказывают существенное влияние друг на друга, что свидетельствует о наличии «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость её статистических характеристик в будущем от всей предыстории её поведения в прошлом. Данный факт не упитывался в теории Эйнштейна — Смолуховского.

Одним из процессов, обладающих некоторой памятью является фрактальное броуновское движение (ФБД) - немарковский процесс, в котором гауссов характер расплывания диффузионного пакета по-прежнему сохраняется. Математический аппарат ФДБ используется, например, при описании турбулентной диффузии. Процесс броуновского движения частицы в вязкой среде, тоже относится к классу немарковских процессов.

Фрактальное блужданиеблуждание, при котором пробеги частицы имеют то же распределение, что и интервалы между атомами рассматриваемой среды, но независимы друг от друга (даже и в том случае, когда блуждающая частица меняет направление).

Введём обозначения: d — размерность эвклидова пространства; с//-— фрактальная размерность струтсгуры, по которой происходит диффутзия; dw длина (размерность) случайного скачка — количественная характеристика миграции частиц по фрактальной структуре; ds —спектральная размерность (интегрированная плотность состояний, Ar(r)~rds/2).

Фрактальность означает самоподобие, при котором на разных масштабах временной ряд сохраняет свою структуру. Для доказательства самоподобия ряда рассчитывают показатель Я/, o параметр Хёрста, определяющий закон возрастания размеров диффузионного пакета. Этот показательодновременно является и фрактальной размерностью траектории аномального процесса. Он представляет собой меру самоподобия стохастического процесса и характеризует тип памяти процесса. С его помощью проводят различие между случайными процессами с независимыми приращениями (при Hf= 0,5, случайный ряд, нормальная диффузия) — память отсутствует (приращения не зависят от предыстории), со статистически зависимыми значениями, обнаруживающими персистентное поведение (о,5<Я/<1,5, супердиффузия) — долговременная память, и со статистически зависимыми значениями, показывающими антиперсистентное поведение (о<Я/<о,5, возврат к среднему, субдиффузия) — кратковременная память. При Н/> 1 — суббаллистический процесс — ускорение движения частиц вдоль траекторий.

Параметр Н/ отражает степень изрезанности графика: при малых Hf*о график получается сильно изрезанным, а при больших Hj= 1 - плавным (но не гладким). Фрактальное движение не является марковским процессом, за исключением случая Нр= 0,5. Как и в случае классического броуновского движения, ФБД недифференцируемо. Приращения ФБД обладают свойством статистического самоподобия.

Образование кластеров (фрактальных структур) в процессе Леви. Персистентность— способность состояния существовать дольше, чем процесс, создавший его

Рис. 8. Образование кластеров (фрактальных структур) в процессе Леви. Персистентность— способность состояния существовать дольше, чем процесс, создавший его.

Антиперсистентность — стремление постоянно возвращаться к исходной точке; в диффузии следствием является более медленное (чем у броуновских аналогов) рассеяние. Экспонента Хёрста, показатель Хёрста, Н/— мера, используемая в анализе временных рядов (характеризует гладкость фрактального временного ряда), обладающих долговременной памятью. Н/уменьшается, когда задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду увеличивается. Последовательности, для которых Н/>о,5, сохраняют имеющуюся тенденцию: возрастание в прошлом приводит к возрастанию в дальнейшем. При значении Hj-o,5 явной тенденции не выражено, а при меньших значениях любая тенденция стремится смениться противоположной. Значения показателя Хёрста природных процессов группируются вблизи значений 0,72—0,73.

Показатель Хёрста связан с фрактальной размерностью d/=i/H/. Замечание. Формула df.=i/Hf справедлива только при условии, что d>i/Hf. Если же d (особенно в случае плоскости,размерность d-2), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значенияф=>2.

Показатель Херста обычно используется как характеристика временных рядов; он выступает как мера персистентности — склонности процесса к трендам (в отличие от классического блуждания). Трендоустойчи- вость поведения растёт с при Н/->1, т.е. к стопроцентной корреляции. При Н/>0,5, направленная в определённую сторону динамика процесса в прошлом, вероятнее всего, повлечёт продолжение движения в том же направлении. Если #/<0,5, то процесс изменит направленность (ряд будет убывать); при больших временах вероятность спадает по степенному закону. #/= 0,5 (df= 2) означает неопределенность (процесс не проявляет персистентности, приращения независимы, корреляция отсутствует, марковский процесс, настоящее никоим образом не определяет будущее, белый шум) — классическое броуновское движение, при больших временах вероятность спадает по экспоненциальному закону. Чем ближе Н/к 0,5, тем менее выражен тренд временного ряда. Значения показателя о,5<#/<1 соответствуют персистентному движению, с долговременной временной положительной автокорреляцией, временные ряды имеют фрактальные свойства (i); при больших временах вероятность спадает по степенному закону. Значения о<Н/<о,5 соответствуют антиперсистентному движению (розовый шум). При #/> 1 (d/>2) возможна долговременная (бесконечно долгая) персистентность и возникновение непериодических циклов.

Гауссов процесс X(f) — фрактальное броуновское движение, если приращения случайного процесса ДХ(т)=Х(?+т)-Х(т) имеют распределение Гаусса:

где D=g*0 - коэффициент диффузии.

Фрактальное броуновское движение есть непрерывный во времени процесс, у которого функция распределения вероятности определённая на времени t следующим уравнением

где F - интегральная функция распределения вероятности фрактального броуновского движения, х,и — фрактальный броуновский процесс, временные ряды, а — стандартное отклонение фрактального броуновского процесса, t — время, п — временной индекс, целое число. Фрактальное броуновское движение выражают через нормальное распределение:

где Ф — функция нормального распределения; р — среднее нормального распределения; а — стандартное отклонение нормального распределения.

Так как распределение вероятности фрактального броуновского движения можно оценить используя нормальное распределение, то верхний и нижний пределы броуновского движения можно найти, используя обратную функцию нормального распределения.

Приращения ФБД называются фрактальным гауссовым шумом, дисперсия которого a2=Dx2H/. Важно, что нормальный закон распределения, которым обладают реализации ФБД, не содержит тяжёлых хвостов, характерных для распределений большинства фрактальных процессов.

В рассматриваемой здесь модели зависимость от времени ширины диффузионного пакета существенно отличается от классической (растёт со временем не по линейному закону). Поскольку сам пакет сохраняет при этом гауссову форму, такой тип диффузии называют аномальной диффузией Гаусса.

Дисперсия pd/случайного блуждания в общем виде

где '=Я/(о<#/<1), Hr- параметр Хёрста, o

Зависимость смещения отдельной частицы от времени (размывание диффузионного пакета):

Применительно к различным механизмам диффузии, параметр Хёрста принимает значения:

Hj= 0,5 — чисто случайный процесс (в миграции — классическая (фиковская) диффузия), соответствует случайным изменениям состояний системы, происходящим с некоторым характерным масштабом 5г величин элементарных скачков при переходе системы между смежными состояниями и характерной длительностью бт пребывания системы в каждом из

состояний), гауссова форма диффузионного пакета, г сс ;

Н/>о,5, о,5<#/<1 — ускоряющийся процесс, персистентное поведение (супердиффузия, диффузия Леви, полёты Леви, диффузия протекает быстрее классической диффузии, фрактальная диффузия; изменение состояний системы стохастически перемежаются скачками аномальной величины по сравнению с бг, при тех же характерных длительностях бт); если Н/ =1 — супербаллистический процесс, описывается распределением Коши, у которого дисперсия бесконечна. Обычно при супердиффузии Hj< 1, но в случае сложных процессов, например, при зависимости коэффициента диффузии от координаты, значение Я/ может быть выше единицы. Важным примером является турбулентная диффузия, в которой диффузионное облако расплывается по закону tl*s.

Н/<0,5, о<Н/<о,5 — замедляющийся процесс, антиперсистентное поведение (субдиффузия, протекающая медленнее классической, реализуется в сильно разупорядоченных, дефектных, пористых средах, диффузия по фракталам); изменения состояний стохастически перемежаются скачками с аномально длительным , значительно превосходящим бт временем пребывания в некоторых состояниях (острова стабильности) при тех же характерных величинах бг скачков).

Замечание.Фрактальное уравнение диффузии описывает растянутый гауссовский процесс, в то время как дробное уравнение диффузии отражает процесс Леви. Хотя обе модели приводят к степенному спаду хвостов, скорость спадания в этих двух моделях различна.

Рассмотрим миграцию по фрактальной среде перколяционного типа. Обозначим dx хаусдорфову размерность геодезической линии на фрактальном множестве F.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >