ПРОНИЦАЕМОСТЬ СРЕД ПЕРКОЛЯЦИОННОГО ТИПА

Стационарную диффузию флюидов (газов, паров или жидкостей) в сильно разупорядоченных контрастных средах (т.е. в средах, в которых составляющие их компоненты характеризуются значительно различающимися коэффициентами диффузии) часто интерпретируют в рамках концепции перколяции.

В данной главе рассмотрены особенности применения теории перколяции для описания проницаемости дисперсионных сред перколяцион- ного типа, т.е. сред, в которых размеры, форма и пространственное расположение составляющих их фаз являются совершенно случайными.

Перколяционные среды

В предыдущих главах при анализе диффузионных процессов в дисперсных средах мы имели дело с задачей миграции по разбавленным ди- сиям с включениями простой геометрической формы. Между тем известно множество систем с высокой степенью неоднородности (например, аморфные материалы, пористые вещества с широким распределением пор по размерам и формам, сильно дефектные среды, с кластерами неопределенной формы и размера, композиты с частицами наполнителя произвольной формы, сополимеры и т.п.). Диффузия в них не может быть адекватно интерпретирована теориями, типа модели Максвелла. К тому же к ним неприменимы методы усреднённого поля, ЕМА.

Замечание. Современные теории, основанные на эффективных средних приближениях, мало пригодны для описания перколяционных систем. Лишь симметричная теория Бруггемана в состоянии достаточно точно оценитьпорог перколяции, тогда как ЕМА даёт рс=33% для трёхмерной ситуации, что далеко от значения рс=1б% получаемого в рамках теории перколяции.

Некоторые практически важные результаты по массопереносу в сильно разупорядоченных системах можно получить в рамках теории перколяции (перетекания). Эта теория довольно проста и наглядна, хотя применима лишь для стационарной проницаемости и для дисперсий, в которых одна фаза является проводящей с некоторой постоянной константой проницаемости, а вторая - непроницаема (или, наоборот, проницаема с бесконечной скоростью, если дисперсная фаза - пора или трещина).

Ранее термин «перколяции» использовался для противопоставления диффузии, поскольку хотя перколяция и диффузия имеют дело с перемещением флюидов в среде, однако в диффузии термин случайность относится к блуждающим частицам, а перколяция акцентирует внимание на случайности в структуре среды. Если диффузия -случайное блуждание частицы в регулярной среде, то перколяция - регулярное движение флюида в случайной среде. В настоящее время оба подхода объединены: перко- ляцию рассматривают как миграцию,происходящую в двухкомпонетной среде с параметрамиЛ|=соп$*иГ)2-Х) или оо. Здесь основной эффект - катастрофическое изменение в поведении параметра среды (например, константы проницаемости) при изменении объёмной доли включений.

Теория перколяции применима к описанию диффузии по структурам перколяционного (случайного) типа. Такие структуры образуются, например, в ходе твёрдофазной реакции, когда в первоначально однородной, проницаемой и аморфной матрице случайным образом возникают непроницаемые включения - кристаллы. Проницаемость мембраны, в которой происходят такие процессы, постепенно уменьшается, а при некоторой объёмной доли кристаллов (порог перколяции) полностью прекращается. Аналогично, в случае возникновения пор (высокий коэффициент диффузии) при некотором значении пористости возможен "пробой" мембраны.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах.

Перколяция (от percolare, просачиваться, протекать) - явление протекания или не протекания флюидов через пористые или композитные материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и т.п.

Перколяционая структура— среда сложного неупорядоченного строения с многоуровневой организацией структуры и процессов переноса в них.

Перколяция становится возможной в момент достижения такого состояния дисперсной структуры, при котором существует хотя бы один непрерывный путь от одного края образца до противоположного.

Теория перколяции - математическая теория, используемая для описания процессов, происходящих в неоднородных средах со случайными свойствами, но зафиксированными в пространстве и неизменными во времени. Предназначена для описания связных структур в случайных средах, состоящих из отдельных элементов, и для нахождения порога протекания, ниже которого процесс распространения флюида ограничен конечной областью среды. Вдали от перехода использует аппроксимацию эффективной среды. Применяется при изучении поведения системы в окрестности геометрического перехода 2-го рода. К приложениям, помимо проницаемости, относятся такие научные направления, как статистическая физика, эпидемиология и распространения популяций.

Теория перколяции направлена на изучение идеализированной случайной среды в двух или более измерениях, она является частью общей теории пространственных случайных процессов и направлена на предсказание глобальных свойств системы, возникающих при подключении большого числа объектов, исходя из локальных особенностей. Базируется на теории графов и сетей, на стыке теории вероятности и топологии. Описывает возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Характерной особенностью перколяционных процессов является существование порога протекания.

Теория перколяции позволяет определить пороговое значение концентрации связей для различных типов решёток, а также зависимость общей проницаемости образца от концентрации связей, найти предельный уровень проницаемости, рассчитать изменение длины пути и его траектории (извилистости) при приближении к предельному уровню проницаемости ;определитьколичество узлов, которые необходимо удалить, чтобы нарушить связанность сети, описать структуры субкритической и суперкритической фаз, оценить размерный спектр кластеров, предсказать поведение системы вблизи порога перколяции и т.п.

Рис. 1. Задача узлов (а) и задача связей (б) на квадратной решетке: узлы- точки пересечения линий; связи - линии, соединяющие узлы.

Различают решёточные и континуальные задачи и задачи на случайных узлах. Решёточные задачи в свою очередь делятся на задачи узлов и задачи связей между ними.

Задачи связей. Связи, соединяющие соседние узлы периодической решётки, бывают целыми (проводящими) или разорванными (непроводящими). Распределение целых и блокированных связей в решётке случайно; вероятность того, что данная связь является целой равна р и не зависит от состояния соседних связей. Связи разорваны с вероятностью 1 -р. Два узла решётки связаны друг с другом, если их соединяет цепочка целых связей. При малых значениях р целые связи далеки друг от друга идоминируют кластеры из небольшого количества узлов, но с увеличением р размеры кластеров увеличиваются.

Перколяция связей при различных значениях р

Рис. 2. Перколяция связей при различных значениях р: существуют доступные пути, связывающие левую сторону с правой при р=о,51, но при р=о,49 их нет. Случайное значение, при котором появляется сквозной путь р=о,5059...

Порог перколяции (критическая плотность) рс - наименьшая плотность занятых узлов (значение р), при которой впервые возникает кластер из бесконечного числа узлов и бесконечная решётка становится проницаемой (или, наоборот, непроницаемой).

Кластер- совокупность связанных друг с другом узлов. Перколяционный кластербесконечный кластер, соединяющий две противоположные стороны системы. Ниже порога перколяции есть только кластеры конечного размера.

Теория описывает стационарную проницаемость мембраны, состоящей из проницаемых и непроницаемых компонентов. Так, если по целым связям возможна диффузия, а по блокированным нет, то при р<рспроницаемость мембраны равна о, а при р>рс она отлична от нуля.На задачах связи строится описание процессов массопереноса, причём основной проблемой является вычисление вероятности существования открытого (сквозного) пути от одной поверхности мембраны к другой. Решёточные задачи узлов отличаются от задач связей тем, что блокированные связи распределены на решётке не поодиночке, т.к. блокируются все связи, выходящие из какого-либо узла. Блокированные узлы распределены на решётке случайно. Они не могут быть заполнены мигрирующим веществом (адсорбционные центры недоступны для флюида). Порог рс для задачи связей на любой решётке не превышает порога рс для задачи узлов на той же решётке. На решёточных задачах узлов строится описание сорбционных процессов.

Реализация перколяции узлов при различных значениях р (р=0,59)

Рис. 3- Реализация перколяции узлов при различных значениях р (рс=0,59).

Задача теории перколяции состоит в вычислении вероятности появления сквозного пути от одной поверхности к другой (т.е. вероятности появления бесконечного кластера и, следовательно, "пробоя" мембраны). Решётки, естественно, состоят из конечного числа узлов, но при большом числе узлов среда считается бесконечной, так что сквозной кластер бесконечен. Поскольку вероятность появления большого кластера растёт с ростом р, то существует критическое значение рс, ниже которого вероятность появления сквозного кластера равна нулю, а выше - всегда единица. Континуальные задачи. Здесь вместо протекания по связям и узлам рассматриваются явления переноса в неупорядоченной сплошной среде. Во всём пространстве задаётся непрерывная случайная функция координатДг). При фиксированном значении/^ функции F(r) области проницаемого пространстваопределяются как F(r)v. При малых значениях Fi-эти области редки и изолированы друг от друга, а при больших Fc они занимают почти всё пространство. Требуется найти уровень протекания К, т.е. минимальное значение F* при котором проницаемые области образуют связанный лабиринт путей, уходящий на бесконечное расстояние. В трёхмерном случае точное решение континуальной задачи не найдено. Однако компьютерное моделирование показывает, что для гауссовых случайных функций F(r) в трёхмерном пространстве при FV=FC доля объёма, занимаемая проницаемыми областями, «0,16. В двумерном случае доля площади, занимаемая проницаемыми областями при FV=FC, точно равна 0,5. Примерами континуальных задач являются системы перекрывающихся сфероидов, хаотично распределённых в пространстве или пористые материалы (отрицательные пространства, модель "швейцарский сыр"). Задачи на случайных узлах. Пусть узлы не образуют правильную решётку, а случайно распределены в пространстве. Два узла считаются связанными, если расстояние между ними не превышает фиксированное значением Если г мало по сравнению со средним расстоянием между узлами, то кластеры, содержащие два или больше связанных друг с другом узлов, редки; однако число таких кластеров резко растёт с увеличением г и при некотором критическом значениигсвозникает бесконечный кластер. В

трёхмерном случае г ~ ^,86 ? где дг концентрация узлов.

с

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >