Характеристики перколяционных сред

Теория перколяции — наука о формировании областей связности элементов с определенными свойствами (кластеров) при условии, что связь каждого элемента с соседями носит случайный характер (но осуществляется определенным способом). Подобное явление относится к критическому явлению, характеризующемуся наличием особой критической точки (в данном случае порога протекания), в которой наиболее важное свойство системы качественно меняется. При переходе через порог протекания возникает бесконечный кластер. Его образование представляет собой фазовый переход 2-го рода, описываемый набором критических показателей.

Для математического описания процесса перколяции вводится параметр порядка, которым в случае решёточных задач является мощность бесконечного кластера, т.е. доля Р(р) узлов решётки, принадлежащих к бесконечному кластеру. При достижении критического значения (порог перколяции)рс, различные величины либо расходятся или идут к постоянному значению по степенному закону.

Вблизи порога перколяции вероятность того, что данная связь принадлежит зарождающемусясквозному (бесконечному )кластеру,

Рл,подвергается фазовому переходу: она равна нулю для р<рс и монотонно увеличивается, как только р превышает критический порог рс. Выше и вблизи точки перехода Р, изменяется по закону:

Роо~(р-рс)р.

где Рх играет роль параметра порядка, критический индекс (экспонента) параметра порядка.

Критические индексы - величины, описывающие аномалии различных термодинамических характеристик системы в непосредственной окрестности точки фазового перехода. Эти аномалии описываются степенными законами, показателями которых и являются критические индексы. Критические индексы не зависят от физической природы вещества. Они зависят только от размерности пространства,d, числа компонент и тензорных свойств параметра порядка и общего характера взаимодействия (дальнодействие или короткодействие).

Несмотря на случайный характер распределения проводящих связей (узлов) в решётке, существует вполне определённое пороговое значение величины вероятности проводимости связи, при котором в бесконечной решётке возникает проводимость. В конечной системе порог протекания зависит от конкретной реализации распределения проводящих связей и от полного числа узлов системе, N. С увеличением размеров решётки величина флуктуации положения порога протекания уменьшается и его значение к стремится к теоретическому значению.

Зависимость мощности бесконечного кластера (l) и проводимости перколяционной сетки (2) от концентрации

Рис. 4. Зависимость мощности бесконечного кластера (l) и проводимости перколяционной сетки (2) от концентрации: задача связей а - квадратная решётка, б - простая кубическая решётка.

Основная теорема теории протекания(Бродбент-Хаммерсли): для всех значений р<рс вероятность проницаемости Р(р) имеет меру нуль при этом критическая концентрация рс зависит от типа решётки(даже для одной и той же решётки значения рс различны для задач о протекании по узлам и по связям). Вероятность протекания обращается в нуль при пороге перколяции.

Процесс перколяции при р<рс - подкритическая, а при р>рс- сверхкритическая перколяция. Величина рс фиксирует переход от докритической фазы при р<рс к сверхкритической фазе при р>рс. В подкритической ситуации нет бесконечного кластера, а в сверхкритической фазе присутствует, по крайней мере, один такой кластер. В подкритической области, вероятность того, что конкретный узел относится к сквозному кластеру размером г стремится к нулю по экспоненциальной зависимости от г.

Понятие порога протекания имеет смысл лишь в бесконечной системе. В конечной системе порог протекания меняется от образца к образцу, т.е. является величиной случайной. Однако, значения, которые принимает эта случайная величина, с подавляющей вероятностью попадают в некоторую критическую область шириной 6. При увеличении числа узлов в системезширина этой области уменьшается по степенному закону, так что при s-но порог протекания приобретает чёткий смысл, превращаясь из случайной величины в величину достоверную.

d

2

3

4

5

6

V

4/3

о,88

о,7

0,6

1/2

Р

5/36

0,40

о,5

о,7

1

Л_

1,29

1,7

2,4

2,7

3

Табл. 1. Пороги протекания для различных решёток

Решётка

Размерность задачи, d

Задача узлов, рс

Задача связей, рс

Квадратная

2

0,590

0,500

Треугольная

2

0,500

0,347

Шестиугольная

3

0,700

0,653

Простая кубическая

3

0,ЗЮ

0,250

Кубическая ОЦК

3

0,243

0,178

Кубическая ГЦК

3

ОД95

0,120

Гексагональная ПУ

3

0,200

0,124

Табл. 2. Основные критические показатели теории протекания.

Табл. 3. Некото]

эые критические показатели для перколяции.

Параметр

Зависимость

Критический индекс

d=2

d=3

Свободная энергия Параметр порядка Средний размер конечного кластера Длина корреляции Число кластеров

F~p-Pc2M iV|p-Pc|P С Чр-рс|-7 4(р) Чр-рс Г

ns(p) Чр-рс |-г

а

Р

У

V

X

  • -2/3
  • 5/36
  • 43/18
  • 4/3
  • 187/91
  • 0,4
  • 1,8
  • 0,9
  • 2,2

Для каждого типа решёток существует свой порог протекания. В некоторых случаях порог рс может быть рассчитан аналитически. Например, для бесконечной квадратной двумерной решётки рс=1/2 для перколяции связей, для треугольной решётки рс=1/2, для треугольной перколяции связей р =2sin(— I» для шестиугольной решётки и перколяции связей W

l-2sin[ — ]> для задачи узлов: для квадратной решётки рс=о,59274384, ре-

V18 J

тётки алмаза рс=0,43030774, квадратной 1,2 решётки рс=0,40725616; рс(6сс)=о,24595716 для ОЦК, рс(/сс)=о,19925370 для ГЦК и рс=о,69700003 для шестиугольной решёток.

Для большинства

Зависимость Др) в задаче протекания по узлам для решёток различного типа

Рис. 5. Зависимость Др) в задаче протекания по узлам для решёток различного типа.

бесконечных решёток рс не может быть найден аналитически, он рассчитывается численным моделированием.

Ширина

где N - число узлов в системе; с - численный коэффициент (*0,5), v - критический индекс (индекс радиуса корреляции), зависящий от размерности задачи. С увеличением размеров системы область сужается в точку

Корреляционная длина (длина связности) ^(р) характеризует быстрот}' спадания корреляций в решётке.

Корреляционная длина,расстояние, на котором существует порядок.

При р-»рс корреляционная длина ^(р) уходит в бесконечность. Чем ближе к порог}' протекания (р>рс), тем меньше проницаемых связей, тем важнее часть кластера, соединяющая две «бесконечности»: обрыв одной из них может сказаться далеко от неё. На самом пороге протекания одна оборванная связь может разрушить весь проводящий путь.

Корреляционная длина 4 задаёт меру типичного масштаба длины на котором флуктуация одной микроскопической переменной коррелирует с другой. Диаметр типичного кластера даёт основной вклад в дивергенцию второго момента распределения кластеров. Вблизи критической точки (для р->рс) длина корреляции меняется по степенному закону:

где v имеет одно и тоже значение выше и ниже порога перколяции.

Радиус корреляции ?, уменьшается при росте концентрации узлов, т.к. при увеличении их концентрации в системе число кластеров увеличивается. Начиная с концентрации, равной критической, кластеры перекрываются друг с другом и радиус корреляции с уменьшается.

Характерный пространственный масштаб системы даётся длиной корреляции 4, т.е. характерным размером кластера из блокированных узлов (при р<рс) или пустот в нём (при р>рс). При р<рс параметр ?, описывает максимальный размер конечных кластеров. Если р—>рс со стороны меньших значений (р<рс), то радиус корреляции обращается в бесконечность. Это означает, что при подходе к порог}' протекания снизу конечные кластеры неограниченно увеличивают свои размеры и при р=рс сливаются в бесконечный кластер. Численные значения индексов длины корреляции для плоских и объёмных задач разные.Для двумерной структуры индекс радиуса корреляции v=i,33, а для трёхмерной v=o,8-o,9-

Средняя масса (число узлов или связей) конечного кластера изменяется в окрестности рс как

Флуктуации параметра порядка вблизи критической точки велики. Корреляционный радиус флуктуаций, т.е. расстояние, на котором корреляция существенно уменьшается,значительно превосходит среднее расстояние между узлами. Вещество в критической области состоит из кластеров, размер которых растёт по мере приближения к критической точке. Вдали от критической точки флуктуации плотностиубывают по показательному закону. В критической точке радиус корреляции (характерный размер флуктуации) неограниченно растёт и любая часть вещества в точке перехода чувствует изменения, произошедшие в остальных частях. При этом флуктуации плотностиубывают значительно медленнее. Вдали от критической точки флуктуации статистически независимы, и случайные изменения состояния в данной части не сказываются на свойствах системы в других её частях.

Поскольку вблизи порога перколяции система становится фрактальной, то для её описания используют идеи фрактальной геометрии.

Согласнотеории подобия вблизи критической точки единственным параметром, характеризующим состояние системы, является расстояние Ар=р-рс от критической точки, которому отвечает определённое значение геометрического параметра - корреляционной длины зависящей от Ар по степенному закону, причём 4-»00 при Др-»о.Поскольку вблизи критической точки имеют место флуктуации любого масштаба, то для описания этих явлений используется масштабно-инвариантная теория.

Салюподобис - инвариантность при изменении масштабов или размеров.

Масштабная инвариантноеь (скейлинг)свойство неизменности уравнений, описывающих процесс при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз. Изменяются единицы измерения, само пространство-время остаётся неизменным.

Кластер самоподобен на всех масштабах длины (больших, чем пространство решётки, но меньше размера всего образца) и его можно рассматривать, как фрактал. Его фрактальная размерность определяется как масса в пределах сферы радиуса г, которая изменяется с г по закону:

М(г) получают усреднением по большому числу кластеров в различных перколяционных ситуациях, или усреднением по различным положениям в центра сферы в единственном бесконечном кластере. Структура бесконечного кластера предполагает, что его масса изменяется по разным законам на расстояниях меньше или больше

Если линейный размер конкретной области меньше §, то кластер самоподобен и

Таким образом, фрактальная размерность зависит от критических индексов [5 и v, а так как эти индексы универсальны, то и d/универсально.

Критические показатели связаны между собой соотношениями подобия, например, а = 2 — dv = 2-2/?-/ (табл. з). Поэтому для получения значений всех введённых выше показателей достаточно знать значения двух из них. В качестве таких показателей обычно используют v и р.

Перколяционные кластеры становятся самоподобными (фрактальными) при критическом значении рс лишь при достаточно больших масштабах длины. При этом выполняется асимптотический степенной закон, связывающий фрактальную размерность ф, массу бесконечного кластера и его радиус (или другую меру длины, например, L): M{t)~Ldf. Этот закон выполним при р=рс и L-»со.

При пороге протекания господствуют степенные законы. Распределение кластеров по размерам (размерный спектр) на пороге перколя- цииасимптотически (при s->cо) подчиняется степенному закону:

Us~S-

Здесь s-число узлов (или связей) в кластере. Показатель Фишера т характеризует распределение кластеров по размерам, т.е. количество кластеров заданного размера (объёма), нормированное на общий объём (на число узлов решётки).

Вероятность того, что два узла разделённые расстоянием г, принадлежит к тому же кластеру, уменьшается по закону g(?Hrr2(d~df).

Средний размер кластера

где ns число кластеров, каждый из которых включает s узлов, приходящихся на один узел решётки (эта характеристика имеет смысл ниже порога протекания, когда все существующие в системе кластеры имеют конечный размер), s-число узлов, входящих в конечный кластер.

Среднее число узлов конечных кластеров типа s при Др-ю:

Пространственные размеры кластеров характеризуются радиусом корреляции. Распределение конечных кластеров по размерам

гдет и а - универсальные (зависящие только от размерности пространства) критические индексы: 1^2,32, a(d=з)»о,453. ФункциюДу) можно представить в виде:

Вплоть до наибольшего кластера $тах существуют только конечные кластеры, причём распределение кластеров по размерам плавно обрезается быстро убывающей функцией

Развитие перколяционной системы

Рис. 6. Развитие перколяционной системы: а - мощность (доля занятых узлов) наибольшего кластера и б - корреляционная длина, для размера второго наибольшего кластера в зависимости от увеличения размера N. В пределе системы бесконечного размера появляется критическая точка, в которой мощность наибольшего кластера развивается ступенчато и корреляционная длина изменяется аналогично фазовому переходу' 2-го рода.

Образование больших кластеров маловероятно.

Мощность перколяционного кластера, т.е. доля узлов или объёма, принадлежащих кластеру, есть плотность кластера. При изменении радиуса корреляции с (концентрация, р) плотность

где Р — мощность перколяционного кластера.

На пороге протекания бесконечный кластер является фрактальным объектом, состоящим из связей, входящих в этот кластер, с размерностью df(d=2)=1.89б, с/Дс/=з)=2,54. Пространственно неоднородная система в критической точке, когда в ней имеются неоднородности всех масштабов, представляют собой фрактал, т.е. объект, проявляющий по мере увеличения масштаба, всё больше деталей, сохраняя при этом свои основные свойства. На пороге протекания образуетеясамоподобная структура процесса. Самоподобие приводит к степенным зависимостям различных величин. Свойства системы вблизи критической точки определяются характеристиками фрактала и тем, до какого масштаба система остаётся пространственно неоднородной, т.е. зависимостью корреляционной длины от Ар. Критические индексы вблизи критической точки выражаются через фрактальные размерности и критический индекс корреляционной длины.

Плотность фрактального кластера изменяется по закону

Для описания поведения системы вблизи порога перколяции достаточно определить длину корреляции ? и геометрические свойства бесконечного кластера.

Чем более изломана или шероховата поверхность кластера, тем меньше фрактальная размерность, больше диаметр, протяженность, периметр кластера, меньше его плотность, больше энергия образования

2_

S = Ап/,,

где S - площадь поверхности, пу - число узлов в кластере.

Табл. 4. Размерностные характеристики перколяционных кластеров (двумерный случай).

Связь между показателями можно представить формулами:

Наименование величины

Обозначение

Числовое значение

Размерность кластера

dk

91/48

Размерность скелета

db

1,67±0,17

Химическая размерность

dc

1,72±0,02

Геодезическая размерность

dR

1,1+0,02

Размерность внешней границы

db

1,751 - 1,720

Размерность блужданий

dw

0,67

Внутренняя размерность блужданий

dw

2,84б±0,00б

Фрактонная (спектральная) размерность

dfr

1,33

Вблизи перколяционного перехода как конечные кластеры (те из них, которые включают много частиц s>>i), так и бесконечный кластер, имеют фрактальные свойства в некотором большом, но конечном интервале масштабов а<г<§.

Табл. 5. Значения критических индексов (включая фрактальные).

d=2

d=3

d>dc=6

p

5/36

0,41

1

V

4/3

0,88

1/2

X

i,3

2

3

dt

91/48

2,52

4

db

1,64

1,8

2

Масса кластера М зависит от его размера R:

где dr фрактальная размерность.

В трёхмерном случае dj=2,524. d,3.

Если размер кластера оценивать по радиусу R наименьшей сферы, содержащей его внутри себя, то соотношение между числом частиц и размером кластера будет

Если кластер пористый или случайный, то это ещё не означает, что он фрактальный. Фрактальный кластер отличается тем свойством, что с ростом размеров его плотность убывает по степенному закону

где р0 — плотность материала частиц кластера;г0 — средний радиус частиц; d — евклидова размерность пространства.

Число узлов в кластере растёт медленнее, чем объём. Такой закон роста для фрактальных объектов вызван тем, что большой кластер размера R весь усеян дырками различных размеров г в диапазоне от r~i до г~Я, причём распределение дырок по размерам в этом диапазоне имеет степенной вид. С ростом выделенного объёма кластера R, в нём возникают пустоты всё большего размера, что, в свою очередь, приводит к уменьшению относительного объёма, занятого веществом. Плотность фрактального кластера убывает с ростом расстояния от начала (центра).

Перколяционные кластеры при р*рс (т.е. при фг^фге) ведут себя как фрактальные объекты при малых и как однородные при больших масштабах. Мощность бесконечного кластера, т.е. доля узлов или объёма, принадлежащих кластеру, ведёт себя с изменением концентрации ф2 как

Рт се |Др| . Эта величина - плогностьбесконечного кластера. Плотность бесконечного кластера и соответственно его проводимость увеличиваются по мере дальнейшего увеличения концентрации проводящих связей.

При изменении характерного масштаба т.е. концентрации р, плотность кластера

Распределение кластеров по размерам для рр (б)

Рис. 7. Распределение кластеров по размерам для р<рс(а) и р>рс (б).

Это выражение содержит размерность пространства d и справедливо в гиперскейлин- говом режиме, т.е. при d<6. При d>6 показатель df имеет постоянное значение dj= 4. Формула, дающая значение dj при любой размерности пространства, имеет вид:

Это выражение определяет размерность одного кластера (а предыдущее - размерность множества всех бесконечных кластеров).

Гиперскейлинговые отношения

Отношения, основанные на {од}

Отношения на {d/,v}:а ~ ^ ’

Критично, что только конечные кластеры существуют до порога перколяции, и распределение кластеров по размерам плавно отрезано быстро спадающей функцией, определяющей максимальное число узлов в кластере

При исследовании проницаемости перколяционных структур, помимо фрактального размера кластера, вводится его химическая размерность (размерность связанности). Химическое (минимальное) расстояние Rc между узлами i и j- минимальное число шагов, за которое можно попасть из I в j, проходя только по доступным узлам. Число N узлов, принадлежащих к множеству для которых Rc растёт с ростом числа кластеров n:N~ndc.dc определен численно, для двумерного случая он «1,72. Величина dc отношение двух размерностей: размерности кластера d и размерности с/я кривой, длина которой и есть химическое расстояние. Геодезическая размерность равна cfo=d/c?c* 1,10 (не сильно изломанная линия). Химическое расстояние, длина кратчайшего пути (по узлам кластера) между двумя узлами кластера.

Показатель «химического» расстояния dniin описывает, как среднее минимальное расстояние (/} относится к эйлерову расстоянию г, а именно

ос rdmin. Параметр dt задаёт масштабирование массы М критического

кластера в химической расстоянии / как он связан с фрактальной

размерностью d/ кластера di=df/dmm, где dmin>i. Для многих фракталов или di=d/ (например, салфетка Серпинского) или di=1 (кривая Коха).Число бесконечных перколяционных кластеров равно пх.=о, 1 или оо. Ноль соответствует отсутствию протекания, 1 или со- наличию его. При d<6 реализуются первые две возможности, при d-oо (решётка Бете) - первая и третья.

Границу перколяционного кластера рассматривают как некоторую линию уровня случайного рельефа. Размерность всей границы кластера - внешней и внутренней - совпадает с размерностью самого кластера, так как число узлов, принадлежащих границе (периметру), пропорционально полному числу узлов кластера: /~sp, где р=1. Размерность внешней границы большого двумерного кластера равна d/,=1,72. Граница критического кластера - самоподобная кривая; при длине кривой порядка полной длины границы кластера («1/2), уход её от начальной точки составляет величину порядка размера кластера, т.е. длины корреляции Характерное число узлов критического кластера составляет Sc~(Ap)t/v P.

Проницаемость решётки зависит от структуры бесконечного кластера. Участки такого кластера делятся на остов (скелет) и мёртвые концы. Узел принадлежит скелету, если, по крайней мере, два пути, выходящие из него, позволяют уйти на бесконечное расстояние. Если имеется только один путь, то точка принадлежит мёртвому концу. Остов образуют те узлы, через которые происходит протекание, а мертвые концы - узлы, в которые флюид может протечь один раз, и вытечь может, только если потечёт в обратную сторону. Поток флюида идёт по скелету.

Скелет бесконечного кластера — множество узлов, принадлежащих бесконечным в обоих направлениях путях по кластеру.

Вблизи порога протекания узлы и связи, принадлежащие скелету бесконечного кластера, составляют ничтожную часть от полного числа узлов и связей, принадлежащих бесконечному кластеру, т.е. основная масса бесконечного кластера сосредоточена в мертвых (тупиковых) концах, не влияющих на проводимость.

Простейшая модель скелета бесконечного кластера - модель Шкловского-де-Жена (модель «рваной рыбачьей сети») - позволяет учесть извилистость проводящих путей. Согласно этой модели структуру скелета представляют в виде неправильной решётки с характерным периодом (линейным размером), равным /?с-длине (радиусу) корреляции бесконечного кластера, величина которого определяется выражением/^ |p-pc|-v, где I- длина, примерно равная периоду решётки, v- индекс радиуса корреляции. Индекс радиуса корреляции для плоской задачи v2=i,33, для трёхмерных задач индекс иной v3=o,8-o,9.

Радиус корреляции возрастает с приближением к порогу протекания, т.е. по мере приближения к порогу сетка становится более редкой.

Определим кратчайший путь, соединяющий две точки расположенные на расстоянии R* друг от друга на фрактальном кластере. Средняя длина такого пути /(/?)ос /?'/min, ^тти=г) В случае бесконечного

кластера эта формула справедлива только при R<^y при R>?, восстанавливается линейный закон / (/?) ос с/?, но с большим коэффициентом с.

Модель Шкловского-Де Жена позволяет связать индекс d с индексом радиуса корреляции. Поскольку флюид течет только по скелету бесконечного кластера, то проницаемость решётки обуславливается проводимостью параллельных проводящих цепочек, принадлежащих скелету. Тогда в двумерном случае c/=v, в трёхмерном d=2v. В трёхмерном случае проводящие цепочки могут быть извилистыми, что приводит к изменению равенства d=2v на d=v+i. В плоском случае такой эффект отсутствует.

Размерность скелета определяется формулой:

гдеРь- критический показатель мощности скелета кластера: вероятность того, что данный узел принадлежит скелету, равна Ph сс |Др|^ . Величина рь равна 1,67 для d=2 и 1,68 для d=3.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >