Задача Стефана

Примером системы с движущейся границей является таяние льда: теплота (её можно трактовать как диффундирующую субстанцию) перетекает от воды ко льду, лёд превращается в воду, так что граница вода-лёд перемещается вглубь образца (и исчезает при полном таянии льда).

Эта задача в настоящее время распространена на существенно больший класс проблем, чем теплопроводность, в частности она используется при анализе диффузионных явлений.

Пусть две среды движутся относительно друг друга вдоль оси х, перпендикулярной наружной поверхности. Местоположение в среде 1 определяется координатой хь стационарной по отношению к среде 1, тогда как местоположение в среде 2 при координате лг2 стационарно относительно среды 2. При времени t среды разделены плоскостью xx=Xh х22, которая первоначально находится при a:i=jc2=o. Среда 1 занимает всё или часть пространства Xi-сс<х22.

В обеих средах имеется диффузант, перемещающийся диффузионно относительно координат хх и лг2 и переходящий из одной среды в другую. Обозначим концентрации диффундирующих веществ при времени t как Сх при хх и С2 при х2. Для двух сред справедливы уравнения:

где коэффициенты диффузии А и А не зависят от Сх и С2.

В некоторый момент времени концентрации АСХД, С22) на каждой стороне границы раздела при равновесии связаны уравнением: С2(ЛГ2)=ГС1(ЛГ1)+/?,

где Г и R - константы, например, если абсорбция газа подчиняется закону Генри, то Г - растворимость и R=о.

На границе раздела выполняется закон сохранения вещества, поэтому

Как уже упоминалось, имеется константа пропорциональности между скоростями движения двух сред относительно границы раздела и следовательно

Х2=КрХх

где Кр - константа, определяемая условиями задачи, которая в некоторых случаях равна нулю.

Для бесконечной среды, в которой выполняется Ур.21, решение имррт пип:

где Ci(oo) и Сх(о) задаются начальными и граничными условиями, т.е.

Рис. з. Движущаяся граница между двумя средами.

Аналогично, решение для соответствующих условий

Для тех же условий, количества диффундирующих веществ Vi и V2,

перемещённых через плоскости Xi=o, дг2=о при времени t в направлении уменьшающегося л: описываются уравнениями:

Эти решения применимы только для бесконечной среды.

Задача Стефана представляет собой особый вид краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных, описывающая изменение фазового состояния вещества, при котором положение границы раздела фаз изменяется со временем. Наличие границ раздела между фазами, которые не задаются явно и могут смещаться со временем, является характерной особенностью таких задач. Скорость смещения межфазных границ определяется дополнительным условием на границе раздела фаз, что приводит задачу к нелинейному виду.

Примером является процесс диффузионного взаимодействия в бинарной металлической системе А—В с а- и (3-фазами, которые представляют собой регулярные твёрдые растворы. Обозначим через 5(0 положение подвижной межфазной границы, тогда a-фаза занимает область О?х

(3-фаза $(t)оа ^ — уравнение описывает изменение концен-

dt дх2

трации в a-фазе, а ^в - о# — изменение концентрации в (3-фазе,

dt дх2

d% _ rp dNв гуадМн определяет скорость движения

dt ох _-(/)+0 дх 4{lh0

межфазной границы, # — граничные условия, где Nn(x,t) —

& ,.<> дх xmL

концентрация атомов сорта В, />' и DP — коэффициенты диффузии в фазах, ЛГва=№(5(0-о,0 — значение концентрации на правой границе а-фазы, NbP=№(5(0-O,0 — значение концентрации на левой границе (3-фазы.

Эта задачадопускает аналитическое решение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >