Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДИФФУЗИИ
Посмотреть оригинал

Особенности турбулентного движения

Как уже упоминалось, турбулентность — состояние флюида (газа, жидкости или плазмы), характеризуемое турбулентным (испытывающим случайные хаотические флуктуации) движением. Онасопровождается турбулентной диффузией, обуславливающеймассоперенос, эффективность которого намного превосходит молекулярную диффузию. В этом случае среда испытывает как микро-, так и макротурбулентность, что приходится учитывать при описании диффузии в таких средах.

Турбулентная диффузия — перенос вещества в пространстве, обусловленный турбулентным движением среды. Под турбулентным понимают вихревое движение флюида, при котором элементы (частицы) среды совершают неупорядоченные, хаотические движения по сложным траекториям, а скорость, температура, давление и плотность среды испытывают хаотические флуктуации.Если в турбулентном потоке в определенный момент времени множество элементов (частиц) располагались рядом друг с другом, то в последующие моменты времени они рассеиваются по пространству так, что статистическое расстояние между любыми двумя частицами с течением времени возрастает. Проявления этого процесса во многом напоминают молекулярную диффузию.

Запас энергии в турбулентных потоках ускоряет гомогенизацию (перемешивание) смесей флюидов, увеличивая скорость перемещения массы, изменяя импульсы и энергии частиц в потоке. Концепция турбулентный диффузии предполагает связь между турбулентным потоком и градиентом средней переменной аналогично соотношению между потоком и градиентом концентрации, существующем в молекулярном переносе. Эта связь определяется коэффициентом турбулентной диффузии, который вводится по аналогии с молекулярной диффузией. Однако он не имеет чёткого физического смысла, поскольку зависит от параметров потока, а не свойств флюида. Такой подход является грубым приближением, но большинство теорий базируется именно на нём.

Распространение примеси во флюиде определяется двумя основными процессами: конвективным переносом вследствие осредненного движения среды и диффузией за счёт турбулентности. Поэтом}' математическая модель, используемая для описания перемещения диффузанта во флюиде, должна описывать как поле средних скоростей, так и характеристики турбулентной диффузии.

К сожалению, система точных уравнений, описывающих детали эволюции во времени поля скоростей и концентраций, не может быть решена с помощью современных вычислительных средств. Единственный практически реализуемый подход состоит в решении уравнений движения, определяющих распределение осредненных по времени величин. При этом время осреднения должно быть много больше временного масштаба турбулентности, но много меньше временного масштаба осредненного течения. Уравнения осредненного движения содержат члены, описывающие турбулентный перенос. Для замыкания системы уравнений (т.е. для её решения) эти члены аппроксимируют с помощью тщательно подобранной модели турбулентности. Такая модель должна быть достаточно проста, но усчитывать наиболее важные особенности процесса массопереноса.

Турбулентная диффузия протекает по-разному в зависимости от масштаба турбулентности. Перенос вещества при маломасштабной турбулентности описывают по аналогии с молекулярной диффузией. При крупномасштабной турбулентности среднее квадратичное смещение частиц с течением времени быстро увеличивается, причём этот рост обусловлен преимущественно крупными вихрями.

Турбулентная диффузия существенно зависит от типа флюида. При описании атмосферной диффузии процесс адвекции и диффузии рассматривается как единый процесс турбулентной диффузии. Для водной же среды в силу наличия совершенно определенных перемещений водных масс, обусловленных, например, речными течениями, два этих переноса вещества рассматривают отдельно. Однако для морской среды при формулировке задачи адвекция и диффузия учитываются в рамках единого явления — турбулентной диффузии.

В основе описания турбулентной диффутзии как процесса случайного блуждания частиц среды лежат выражения для среднеквадратичного

2

смещения частиц г от некоторого исходного положения через интервал времени t, сходные с выражениями для молекулярной диффузии. В случае больших времён процесса рассеяния можно использоватьтеорию броуновского движения. Тогда:

00

где t>ioT; Т = ^Rdt— Лагранжа временной масштаб в направлении пере-

о

носа; параметр Dt=u2T—коэффициент турбулентной диффузии; R— коэффициент корреляции.

Масштаб турбулентности— средний размер турбулентных вихрей (элементов турбулентности, длин флюктуаций). Различают продольный, вертикальный и поперечный пространственные масштабы, соотношения между которыми определяют особенности вихревых структур. Особый интерес представляет изучение максимального размера вихревых структур — макромасштаба и минимального размерамикромасштаба турбулентности. Внутренний масштаб турбулентности — наименьший размер турбулентных вихрей в данном потоке. Лагранжа временной масштаб турбулентности Ti=aEk/c, где Ек

- кинетическая энергия турбулентности, е — скорость её диссипации, а — параметр зависящий от числа Рейнольдса.Коэффициент корреляции Лагранжа между пульсациями скорости и(м/с) одного и того же элемента (частицы) среды в разные моменты времени t и t+At составляет:

Поскольку турбулентная диффузия и молекулярная диффузия независимы, общее смещение частицы определяется суммой:

а общий (виртуальный) коэффициент диффузии D(=Dt+D, где D — коэффициент молекулярной диффузии. Хаотическое пульсационное движение жидкости (газа), обусловливающее турбулентный поток вещества, возникает при высоких числах Рейнольдса. Наличие градиентов осреднен- ной скорости течения приводит к заметному ускорению рассеяния частиц вещества по направлению турбулентного потока. Его плотность выражают в виде вектора:

где и', С —пульсационные составляющие вектора скорости движения среды и концентрации переносимого вещества; о — оператор осреднения функции по времени в рассматриваемой точке пространства.

Существует связь между вихревыми коэффициентами диффузии и турбулентными свойствами потока.

Если в турбулентный поток вброшены две частицы, то они будут удаляться друг от друга и скорость их разлета определится коэффициентом диффузии. Удобнее рассматривать две частицы появляющиеся в начале координат в разное время. Если время в пути Т, то расположение частиц

где и — скорость частицы по пути перемещения (скорость Ланжевена).

Среднее положение частиц, усредненное по многим выбросам в стационарном однородном турбулентном поле равно нулю, и относится к началу координат. Однако дисперсия их перемещений не равна нулю:

где/?/—автокорреляция скорости дисперсия флуктуации скорости.

Автокорреляция — мера памяти потока, показывающая насколько хорошо коррелируют будущие скорости с текущими значениями.

Автокорреляционная функция при больших временах стремится к нулю, т.е. частица в конце концов "забывает" свою первоначальную скорость. Но в начале процесса скорость сильно коррелирует с первоначальной. Из временного масштаба этого процесса 7} = J* RLdt следует, что пло-

о

щадь под прямоугольником шириной Tl равна площади под кривой Ri.. Длина шкалы Лагранжа Ll = ЙТ7.Для времен меньших Г/. и расстояний, меньших Ll скорости частиц обычно хорошо коррелируют и Rl стремится к единице. Длина Лагранжа связана с интегральной длиной /, т.к. это длина при которой поток хорошо коррелирует с размером наибольшего вихря. Интересны два предельных случая: очень длинные и очень короткие времена по сравнению с Tl. Для больших времён (t»Ti.) имеем

X2(t)= lu2T,t + const. Дифференцируя по времени получим

Стандартное отклонение смещения yjX2 (t) увеличивается пропорционально t1/2, т.к. расстояние перемещения аналогично случайному блужданию (некоррелируемая стадия). При больших временах диффузии (t»TL) 8 ос u2Tl ос uLl

Важно, что в этом случае коэффициент турбулентной диффузии постоянен и не зависит от времени.

Другой предел — начало процесса (t«Ti). Здесь автокорреляция очень близка к единице (Rl~i) и X2(t) = u2t2. Стандартное отклонение смещения увеличивается пропорционально t из-за полной корреляции скачков. Дифференцируя получим:

В этом пределе коэффициент диффузии не постоянен—он возрастает пропорционально времени, поскольку смещения частиц сильно коррелируют; стандартное отклонение смещения увеличивается линейно.

Для практических применений важнее установить связь между коэффициентом диффузии и изменением размера облака частиц. За время Tl частица перемещается на расстояние и TL .Но и TL =Ll поэтому для применения Ур.1 размер диффузионного облака L должен существенно превышать длину масштаба Лагранжа, а коэффициент диффузии постоянен. Для небольших облаков L коэффициент диффузии увеличивается с размером облака и для очень малых облаков Ур.1 применимо. Таким образом, у небольших облаков (размером меньше Ll) коэффициент диффузии возрастает с увеличением размера облака. Если размер облака попадает в инерционный интервал темпа роста среднего квадрата разделения частиц:

где Дг — расстояние между частицами.

Это приводит к 4/з степенному закону диффузии где а — константа, зависящая от скорости диссипации энергии, L — размер облака.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы