ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика диффузии долго развивалась в двух непересекающихся направлениях: феноменологическое описание и теория случайного блуждания. Дихотомию начали преодолевать только в 21-ом веке благодаря внедрению в статистику прыжков частицы идей памяти, детерминированного хаоса и элементов геометрии фракталов, а в кинетические уравнения - дробных производных по времени и пространству. Важным обстоятельством оказалась связь между величиной дробной производной и показателем фрактала. Внедрение уравнений с дробными производными обеспечило возможность монотонного перехода от производной первого порядка, равной единице (уравнение параболического типа, полностью хаотическая система) к производной, равной двум (уравнение гиперболического типа, полностью упорядоченная система). Тем самым, появилась возможность описания диффузии в сильно разупорядоченных средах, в системах с различной степенью детерминированного хаоса.

Серьёзные успехи в развитии математического аппарата диффузии связаны с экспериментальным обнаружением и теоретическим описанием трёх типов диффузии: классической диффузии, субдиффузии (замедленной диффузии, диффузии с временным или постоянным удержанием в ловушках) и супердиффузии (ускоренной диффузии, диффузии с адвекцией и конвекцией). Современная теория позволяет интерпретировать процессы диффузии, миграции и массопереноса в разупорядоченных наноструктурах, в пористых материалах (адсорбенты, катализаторы и другие перколя- ционные структуры), горных породах и живых организмах. В настоящее время дифференциальные уравнения с дробными производными, распределения Леви с бесконечными дисперсиями успешно развивают теорию турбулентной диффузии. Можно ожидать, что такой подход окажется весьма полезен в описании мембранных процессов, диффузии нейтронов, а также в области диффузионных процессов и автоволновых колебаний.

Современный математический аппарат позволяет, используя метод наименьших квадратов, обрабатывать данные различных типов диффузионных экспериментов, но только в простых ситуациях. В нелинейных ситуациях для нахождения параметров моделей приходится прибегать к специальным методам: метод функциональных масштабов, метод асимптот, метод статистических моментов, метод частотных характеристик и т.п., так или иначе, но обеспечивающих линеаризацию задачи.

Подводя итоги, можно констатировать, что несмотря на полутора- вековуюисторию математического аппарата диффузии, теория диффузионных явлений находится на начальной стадии своего развития. Будущим исследователям в этой области предоставляется неограниченное поле деятельности.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >