Основные понятия, определения и операции в математическом аппарате нечетких множеств

В теории обычных множеств вводится понятие множества как совокупности или набора элементов, которые обладают заданным свойством. Такими элементами могут быть целые числа; технологические параметры, которые оказывают влияние на качество вырабатываемой продукции; термины, с помощью которых характеризуют динамику изменения некоторого параметра; студенты, обучающиеся на данной кафедре, и т. п. В дальнейшем множества будем обозначать заглавными буквами, а его элементы — малыми. Принадлежность элемента х множеству А обозначается х(=Л. Если элемент х не принадлежит множеству Л, то пишут х &А. Множество, пе содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают 0. Для обозначения того факта, что элемент х может принадлежать или не принадлежать множеству Л, вводится понятие характеристического числа, иногда называемого индикатором, а именно

ГГрп таком подходе выполняется четкая, однозначная классификация элемента х на принадлежность его к множеству Л.

Иногда вводят в рассмотрение понятие универсального множества U. Под универсальным множеством понимают область рассуждений или (в случае рассмотрения какого-либо технологического параметра) диапазон, в котором может находиться величина этого параметра. Например, если изучается температурный режим в технологическом агрегате и до проведения специальных измерений температуры известно, что ее величина лежит в интервале [Tlt Т21. то в качестве универсального множества принимают этот диапазон. В случае, когда рассматривают конечное число элементов множества- (У, его записывают в виде U = {iij, Щ, . . ., м7,}. В теории нечетких множеств допускается следующая форма записи:

где знак суммирования обозначает операцию не арифметического сложения, а объединения элементов ut (i — 1, п) в одно множество U.

Рассматривая температуру теплоносителя в диапазоне [0,25° С) и принимая шаг квантования 5° С, универсальное множество можно представить в виде U — {0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25}. Эквивалентная, но более принятая форма записи имеет вид U = {0, 5, 10, 15, 20, 25}. Использование термина «универсальное множество» может быть связано с принципом обобщения, который обсуждается пиже. Данный пример формирования универсального множества те.мпературы теплоносителя иллюстрирует четкую классификацию значений температуры на принадлежность множеству U, в которое включаются только элементы из диапазона [0,25° С].

В практических случаях не всегда удается выполнить такую однозначную классификацию. Так, например, в случаях, когда измерений в силу ряда причин не выполняют, при увеличении диапазона температуры теплоносителя более' высокие ее зпачения можно отнести к множеству U только с некоторой степенью уверенности. Безусловно, если есть возможность провести измерения, таких сомнений но должно быть. Аналогичная ситуация может возникнуть при классификации вырабатываемой продукции на категории качества. Для формализации такой информации полезно следующее обобщение понятия множества [11).

Определение 1. Нечеткое подмножество А универсального множества U характеризуется функцией принадлежности рл : ?/-*• -*? [0, 11, которая ставит в соответствие каждому элементу и ЕЕ Er U число ,ил из интервала [0, 1], характеризующее степепь принадлежности элемента и подмножеству А.

Форма записи нечеткого подмпожества А универсального множества U имеет вид

где р,- — степень принадлежности элемента (Е: U (i = 1, п) нечеткому подмножеству А универсального множества U; знак суммирования обозначает объединение одноточечных множеств р^/ц*; черта отделяет степень принадлежности от элемента ЕЕ €Ei/(i=l,w). В случае, если рг- задано непрерывной функцией, нечеткое подмножество А универсального множества U

представляют в виде

где знак интегрирования обозначает операцию объединения одноточечных множеств ца (и)! и.

Приведенное определение является основой для формализации различного вида неопределенностей. Пусть диапазон изменения первого типа параметра ФХС определяется универсальным множеством U = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5, значение величины параметра при наблюдении за технологическим процессом характеризуют нечетким термином «высокий». На этапе формализации качественной информации термин «высокий» сопоставляется с нечетким подмножеством А универсального множества U. Допустим,

что это сопоставление дало следующий результат: А — высокий = = 0/0 + 0,1/1 + 0,2/2 + 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5. В этом выражении

знак „=“ обозначает равно по определению. Данное выражение показывает, что значение величины параметра и, = 0 не может быть отнесено к понятию «высокий», поэтому р (г/А) = 0. Величина параметра и4 = 3 со степенью р 4) = 0,5 отнесена к понятию «высокий», а для ив = 5 степень принадлежности к данному термину принята равной 1. Последпее показывает, что значение величины параметра ий = 5 п.ри заданном универсальном множестве U строго соответствует термину «высокий».

В работе 120] дано определение нечеткого множества, которое отражает математическую природу этого понятия и является частным случаем данного выше определения. Приведем это определение.

Определение 2. «Нечетким множеством С в X называется совокупность пар вида , рс (#)), где х ЕЕ X, а рс - функция X -*-[0,1], называемая функцией принадлежности нечеткого множества С» [20].

Рассмотрение нечеткого множества как подмножества некоторого универсального множества вытекает из следующего. В теории обычных множеств введено понятие характеристического числа

  • (2.1) . Используя это понятие и форму записи нечеткого множества
  • (2.2) , универсальное множество U можно записать в виде

В этом выражении степень принадлежности ру всех элементов Ui множеству U равна 1. Из сравнения выражений (2.2) и (2.3) следует, что А можно трактовать как подмножество U в смысле выполнения неравенства рл (и,) рц = 1 для любых щ €Е U. Так как функция рл (и) определена на всем интервале [0, 1], в отличие от характеристического числа, которое принимает только два зпаченпя, нечеткое множество является обобщением понятия множества в теории обычных множеств.

Из рассмотренного следует, что нечеткое подмножество А универсального множества U, с одной стороны, характеризует нечеткие понятия или другого вида неопределенности, а с другой — само определяется функцией при надлеж ности

Структура, являющаяся решеткой

Рис. 2.1. Структура, являющаяся решеткой

рд (и), которая ставит в соответствие каждому элементу и ЕЕ U число ia (и) из интервала [0, 1). Это число характеризует, в какой степени элемент принадлежит нечеткому понятию или, что эквивалентно, подмножеству А универсального множества U.

При изучении множества объектов <7, каждый из которых характеризуется множеством свойств qj ЕЕ Q (/ = 1, л), при условии, что свойства определены нечетко, важным для практических приложений является определение, введенное в работе (29].

Определение 3. L-нечетким множество*!, которое определено на множестве G, является отображение множества G в произвольную структуру типа решетки L.

Понятие решетки L определяется как упорядочепное множество, для каждой пары элементов которого или подмножеств существует один и только один элемент, называемый верхней границей, и существует один и только один элемент, называемый нижней границей [14]. Указанные границы должны принадлежать множеству L. Выбор границ осуществляется применением соответствующих операций. Например, на рис. 2.1 показана структура, которая является решеткой. Для пары 7, 5 верхней границей является элсА1ент 2, а пижней — 4; для пары 7, 4 верхпяя граница — эле- мент 7, а нижняя — 4; для пары 4, 4 верхняя граница совпадает с нижней и является элементом 4 и т. п.

Понятие 7,-нечеткого лшожества используют в случаях, когда требуется формализовать связь между множеством объектов G и множеством свойств Q, причем каждый объект gt EG характеризуется набором свойств Q [28]. В этом случае для любого gt ЕЕ ЕЕ G устанавливается отображение G-+ [0, 1] (/ = 1, т).

Функция р7 рассматривается как степень, с которой gt ЕЕ G обладает свойством qj ЕЕ Q. Тогда для любого g ЕЕ G имеем

Отсюда следует, что любой объект gt €= Охарактеризуется матрицей размерности lm X 1|. Каждый элемент этой матрицы принимает значение из отрезка [0, 1]. Примером таких объектов могут служить отдельные изделия выпускаемой продукции, а свойствами — характеристики качества изделий.

Определение 3 является обобщением определения 1, так как если пространство L совпадает с отрезком действительной оси [О, 1], то оба определения тождественны.

Для псчеткого подмножества А универсального множества U понятие носителя множества определяется выражением

Иными словами, носителем нечеткого подмножества А называется множество элементов и е U, для которых функция степеней принадлежности рд (м) >* 0.

Нечеткое подмножество А универсального множества U называется нормальным, если выполняется условие sup рд (и) = 1. В случае невыполнения последнего равенства нечеткое подмножество называют субнормальным.

Обычно при формализации первичных терминов, которые представляют собой качественную информацию об объекте исследования, формируют нормальные нечеткие подмножества. Однако после выполнения операций, которые рассматриваются нпже: нечеткие подмножества могут переходить из нормальной формы в субнормальную. При решении задач может оказаться необходимым выполнить нормализацию субнормальных нечетких подмножеств. Этого достигают делением функций степеней принадлежности нечеткого подмножества на ее максимальное значение.

Дальнейшим обобщением попятпя нечеткого множества является понятие лингвистической переменной [11]. Лингвистическая переменная характеризуется набором Т (Ly), U, Р, Л/>, в котором Ly — название переменной; Т (Ly) — терм-множество переменной Ly, т. е. множество лингвистических значений переменной Ly, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной X со значениями из универсального множества U Р — синтаксическое правило, имеющее обычно форму грамматики и порождающее названия Т значений переменной Ly; М — семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл М (X), т. е. нечеткое подмножество М (X) универсального множества U. Конкретное название X, порожденное синтаксическим правилом Р, называют термом.

Лингвистические значёния переменной Ly строятся но заранее определенному правилу (а) и принимают нечеткие значения X множества Га, формализуемые функцией степеней принадлежности ра (X):

Выбор вида функций принадлежности и их параметров определяется в большей степени опытом, интуицией.и другими субъективными факторами лица, принимающего решение (ЛПР). Именно здесь возникают новые, связанные с неоднозначностью и другое го рода нечеткостью, неопределенности, которые носят субъективный характер. В табл. 2.1 приведены простейшие функции степеней принадлежности р (х) для нечетких утверждений о значениях величины х типа: мх большая», чх малая», « | х | большая», « | х | малая» а также чх .малая» с различной степенью усиления ее малости [14].

Приведенные в табл. 2.1 функции степеней принадлежности иллюстрируют формализованное представление нечетких терминов. В разд. 2.3 будут подробно рассмотрены способы задания этих функций. Перейдем к изложению операций над нечеткими множествами.

В теории нечетких множеств вводится ряд операций над множествами, которые должны соответствовать комбинациям нечетких терминов и их смысловым нагрузкам при решении прикладных задач. В работе [20] отмечается, что в частном случае операции над нечеткими множествами должны соответствовать операциям в теории обычных множеств. При решении конкретных задач каждый исследователь использует свои знания об объекте исследования и роли каждой операции.

Для множеств установлены следующие теоретико-множественные отношения: 1) отношение равенства множеств выполняется тогда и только тогда, когда элементы одного множества совпадают с элементами другого. В случае нечетких множеств А и В это отношение записывают в виде А = В тогда и только тогда, когда для любого u U имеет место |хд (и) = рв (и), т. с. отношение равенства выполняется при равенстве функций степеней принадлежности соответствующих нечетких подмножеств универсального множества U; 2) отношение включения множества А в множество В выполняется тогда и только тогда, когда элементы множества А совпадают с частью элементов множества В. Для печетких множеств А и В данное отношение представляют в виде A CZ В тогда и только тогда, когда для любого и ЕЕ U имеет место рд (и)

рв (и). Анализ указанных отношений показывает, что нечеткое множество, введенное в соответствии с определением 1, является более общим случаем, чем обычное множество.

Приведем операции над нечеткими множествами [11, 14, 20].

Объединение нечетких множеств А п В обозначается А + В (или, что более привычно, A [J В) и определяется следующим образом:

где знак «/» обозначает операцию нахождения наибольшего числа из двух чисел рд (и) и pfl (и) при фиксированном и ЕЕ U. Объединение нечетких множеств соответствует логической связке «или».

Область

определения

График

Функция

Область

определения

График

Функция

П р и ы е ч а н » е. Универсальные множества: R+ — множество неотрицательных деГствительных чисел; R — множество действительных чисел; N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел.

Иногда используют иную форму представления этой операции,, а именно

Например, пусть нечеткие подмножества А = 0/1 + 0,6/2 + + 0,8/3 + 1/4 и В = 0,2/1 + 0,8/2 + 0,6/3 + 0,4/4 + 0,2/5 определены на универсальном множестве ?/=14-2 + 3 + 4 +5. Тогда С = А + В = 0,2/1 + 0,8/2 + 0,8/3 + 1/4 + 0,2/5. Заметим, что если в записи нечетких подмножеств отсутствуют некоторые элементы универсального множества, то принимают степени принадлежности этих элементов нечеткимподмножествам]равными 0. В данном примере использовано это допущение, так как в подмножестве А универсального множества U опущен элемент и = 5,

Существует и другой способ задания операции объединения нечетких множеств [201:

На рис. 2.2, а приведен пример функций степеней принадлежности рА (и) и рв (м) нечетких подмножеств А и В универсального множества ?/, а на рис. 2.2, б показаны функции степеней объединения нечетких множеств A (J В, вычисленные по выражениям (2.4) для рс (и) и (2.5) для рс (ы). Из характера графиков функций рс (ы) и рс (и) следует, что в первом случае происходит не деформация исходных функций цА (и) и рв (и), а только отсечение частей графиков. Во втором же случае происходит значительная

Операция объединения нечетких множеств

Рис. 2.2. Операция объединения нечетких множеств

•а — исходные функции степеней принадлежности; б — результаты объединения нечетких ишожеств

деформация функций рл (w) п рв (и). Поэтому если учесть, чго объединение нечетких множеств соответствует логической связке «или», то увеличение функции рс (и) при и = щ не всегда может быть оправдано.

Пересечение нечетких подмножеств А и В универсального множества U определяется выражением

где «Д» обозначает операцию нахождения наименьшего числа из двух чисел рл (и) и рв (и) при фиксированном и GE U. Пересечение нечетких множеств соответствует логической связке «и». Может быть дана иная форма представления этой операции, а именно

Например, пусть нечеткие подмножества А = 0/1 4* 0,6/2 + + 0,8/3 + 1/4 и В = 0,2/1 + 0,8/2 + 0,6/3 + 0,4/4 + 0,2/5 определены на универсальном множестве 17 = 1+2 + 3 + 4 + 5. Тогда

В работе [201 отмечается, что при рд (и) < рв (п) для любых и ЕЕ U функция рв (и) в операции пересечения нечетких множеств, вычисляемого в соответствии с выражением (2.6), не участвует.

Дополнение нечеткого подмножества А универсального множества U определяют выражением

Операция дополнения нечеткого подмножества некоторого универсального множества соответствует логическому отрицанию. Эквивалентная форма представления этой операции следующая:

Например, пусть универсальное множество ?7 = 1 -Ь 2 + 3 + 4* 4, а нечеткое подмножество Л, характеризующее понятие «высокий», задано в виде Л == высокий = 0/1-|-0,6/2 4 0,8/3-f-1/4.

Тогда И А — не высокий = 1/1 + 0,4/2 -h 0,2/3 + 0/4.

Нетрудно убедиться, что введенные операции над нечеткими множествами являются более общими, чем аналогичные операции над обычными множествами. Если в выражениях (2.4), (2.6), и (2.7) положить, что рА (и) и рв(п) могут принимать только два значе1 пия 0 или 1, то при выполнении данных операций получим следующее. При выполнении операции объединения множеств будет сформировано .множество, состоящее как из элементов мпожества Л, так и из элементов множества В; операция пересечения множеств даст множество, которое состоит из элементов, одновременно принадлежащих двум множествам Л и В; операция дополнения образует множество, состоящее из элементов U без элементов множества Л.

Нечеткие подмножества некоторого универсального множества относительно введенных операций объединения, пересечения и дополнения множеств удовлетворяют следующим свойствам..

  • 1. Идемпотентность: Л U Л = Л П Л 0 ПРИ Л = 0. Отметим, что нечеткое подмножество универсального множества U называется пустым при условии р0 (и.) = 0 для любого и (Е U.
  • 2. Коммутативность: Л J В = В (J А, А П В = В С А- Данные свойства с очевидностью вытекают из приведенных определений операций пад нечеткими множествами.
  • 3. Ассоциативность: (Л U #) U ? = Л (J (# U ?)» (Л П П В) П С = Л Г) (# П С). Справедливость первого равепства может быть показана следующим образом:

HAUB, pc) = max(max(pA, рв), рс) =

= max (рл* Ив. pc) = max(pA, тах(рв, Ис)) =

= max (pA, uB.jC) = MalKBuo*

Из приведенных равенств обратное утверждение очевидно. Аналогично проверяется второе равенство.

4. Дистрибутивность: Л (J fl С) = (Л (J В) f| (Л U О»

л Г) U С) = (л П В) U (Л n С).

5. Поглощаемость: Л (J (Л f] В) = А. Это свойство можно записать в другой форме, а именно,

шах (рл, min (рА, рл)) — Ра.

6. Единственность обратного: {( iЛ) = Л. Данное свойство проверяем непосредственно, используя определение дополнения нечеткого множества (2.7):

|А-|С1А) = 1 — М'ПА = 1 — (1 — Рл) = ilA*

7. Правила Моргана: “1 (Л (J В) = (ИЛ) П (И#)» И (Л П Р| jB) = ( |^4) U ( |В), которые можно представить иначе с помощью функций принадлежности нечетких подмножеств А и В

универсального множества ?7:

Читатель может самостоятельно проверить справедливость свойств4, 5 и 7, рассматривая различные сочетания между значениями фупкций принадлежности iA, рв, рс нечетких подмножеств Л, Вж С универсального множества ?7.

Рассмотрим следующие операции над нечеткими множествами.

Произведение нечетких подмножеств А и В универсального множества ?7 определяется выражением

в котором для любого и Ez U функция степеней принадлежности произведения нечетких подмножеств Л и В определяется алгебраическим произведением рл(м) п рв (и).

Например, пусть имеем универсальное множество ?7=1 + + 2 + 3 + 4, на котором определены нечеткие подмножества Л = 0,8/2 + 0,9/4 и В = 0,6/2 + 0,8/3 + 0,5/4. Выполняя операцию в соответствии с выражением (2.8), получим А В = 0,48/2 + + 0,45/4.

Частным случаем операции произведения печетких множеств является возведение в степень а ]> 0:

В случае а = 2 операцию произведения нечетких множеств называют концентрированием и обозначают

На рис. 2.3 показан пример графика функции степени принадлежности iA (и) нечеткого подмножества Л универсального множества U. При выполнении операции концентрирования над нечетким подмпожеством Л универсального множества ?7 происходит сжатие графика функции хА (и) по оси и относительно точки их (сравни графики функций [iA (и) и ^соп(Л) (м)). Применение этой операции позволяет уменьшить степень «нечеткости» в случаях, когда поступает дополнительная качественная информация, так как для всех элементов мб(/,у которых хА (и) < 1, степени принадлежности нечеткому подмножеству Л универсального множества ?7 уменьшаются. Данная операция используется для представления лингвистических неопределенностей типа «очень» и др. [12].

Например, пусть имеем универсальное множество ?7=1 + + 2 + 3 + 4, на котором определено нечеткое подмножество

Л — высокий = 0/1 + 0,6/2 + 0,8/3 + 1/4. Выполняя операцию

(2.9), получим В = сои (/1) == очень высокий = 0/1 + 0,36/2 4- + 0,64/3 4- 1/4.

При а = 0,5 операцию произведения нечетких подмножеств называют растяжением и представляют в виде

Л0* = dil (А).

Операция растяжения используется в случаях, когда требуется моделировать потерю информации. Применение этой операции приводит к увеличению нечеткости (см. рис. 2.3).

Неопределенные термины типа «очень», «более или менее», «достаточно» и другие иногда называют модификаторами. Применение модификатора к одному из первичных терминов преобразует термин в другой. Так, термины «высокий» и «очень высокий» несут различную смысловую нагрузку, которая определяется диапазоном изменения параметра, а также контекстом решаемой задачи.

При выборе формализованных правил действия модификаторов исходят из посылок, что вид функции принадлежности должен деформироваться. Так, для пормальных нечетких подмножеств применение операций растяжения (dil) и сжатия (con) приводит к соответствующему изменению функций принадлежности относительно элемента и0 ?/, для которого р (п0) = 1. Другой посылкой является то, что действие модификатора заключается в сдвиге функции принадлежности р (ц) по оси и без изменепия ее формы.

В разд. 2.3 будет подробно рассмотрено параметрическое задание функций степеней принадлежности в нечетких подмножествах, которые формализуют нечеткие термины. Здесь рассмотрим формализацию действий модификатора, который обеспечивает сдвиг функции принадлежности по оси абсцисс. Такая операция над нечеткими множествами изучается в работе [32), где анализируются возможные варианты функций степеней принадлежности, показанные на рис. 2.4. Анализ функций р (и) показывает, что они отличаются от треугольной формы только тем, что одна из точек и2 или и3 отнесена в бесконечность.

При параметрическом задании нечетких терминов тремя параметрами для перехода от одной формы функции к другой, что соответствует преобразованию терминов, может оказаться полезным применение метода кусочно-линейных преобразований. В этом случае используется отображение

Согласно принципу обобщения, который рассматривается ниже, при отображении универсальных множеств U —*? V предполагается, что не происходит изменений значений функции принадлежности в нечетких подмножествах. Отображение (2.10) допускает обратное преобразование

Пусть на универсальных множествах U и V определены точки и 1, и2, и3, и U и vl9 v2y i>3, i;G F. Тогда для отображения Т имеем равенство

Отметим, что существует одно и только одно к у сочно-линейное преобразование, отображающее три точки и19 ы2, и3ЕЕ U в v, v2j v3 V соответственно.

Отображение Т определяется четырьмя параметрами а, р, у, б, которые могут быть вычислены по формулам:

Рассмотрим преобразование функций степеней принадлежности в печеткпх подмножествах, которые приведены на рис. 2.4. Пусть требуется найти преобразование функций рЛ (и) —рв' (v) пли рС' (у). В этом случае для функции рв* (у) имеем v2-+ оо, и равенство (2.11) примет вид

Параметры преобразования Т определяются формулами

При преобразовании функций Ца (и) -? Цв (и) или |Xc (w) имеем 173 —>- оо, равенство (2.11) примет вид

В этом случае параметры отображения Т.вычисляюгея следующим образом:

Случай, когда формализация двух терминов осуществляется двумя параметрами, например цп (и) и |Хг: (и), у которых и3и2 отнесены в бесконечность, приводит к линейному отображению L : и clu -Ь Р; а Ф 0. Данное отображение обеспечивает формализацию перехода от термина, описываемого функцией степеней принадлежности рв (и), к термину, формализация которого обеспечивается функцией uc (t>). Параметры отображения L вычисляются с помощью формул:

Перейдем к рассмотрению следующих операций над нечеткими подмножествами.

Пусть Ах и А2 нечеткие подмножества универсальных множеств Ux и U2 соответственно. Тогда декартово произведение нечетких подмножеств Ах и Аг обозначается Ах X А2 и определяется как нечеткое подмножество множества U. Последнее определяется декартовым произведением U = Ux X U2. При этом функция степеней принадлежности декартова произведения Ах X Л2 определяется выражением

Иначе декартово произведение нечетких подмножеств Ах и Л2 записывают в виде

Например, пусть имеем универсальные множества U1 = U2 = = 3 + 5 + 7 и нечеткие подмножества Ах 0,5/3 + 1/5 + 0,6/7 и А2 = 1/3 + 0,6/5. В этом случае декартово произведение нечетких подмножеств Ах и Л2 будет равно

Декартово произведение нечетких множеств тесно связано с понятием нечеткого отношения, что будет рассмотрено ниже.

В ряде приложений, в частности при задании функций степеней принадлежности в нечетких подмножествах, что будет рассмотрено в разд. 2.3, требуется проводить сравнение нечетких подмножеств. Формализацией сравнения нечетких подмножеств А и В универсального множества U с конечным числом элементов может быть вычисление расстояния Хеммннга, которое определяется выражением

где [iA (и,-), Ив (ut) — функции принадлежности элементов ut ев €Е U (i = 1, п) нечетким подмножествам АВ универсального множества U; знак «2» обозначает арифметическое сложение. Отметим, что

Приведенное определение расстояния Хемминга является обобщением соответствующего понятия для обычных множеств, для которых ца («,) и [Ад (ut) могут принимать только два значения: 0 или 1. Например, пусть имеем два нечетких подмножества А и // универсального множества U:

Найдем расстояние Хемминга

Наряду с указанным иногда используют относительное расстояние Хемминга, определяемое выражением

причем 0 < 6 , В) < 1.

Кроме линейных форм расстояния между нечеткими подмножествами, рассматривают квадратичные формы Ц4], а именно:

для которых 0 е (А, В) Yп

и в относительном виде

причем 0 е , В) <1 1.

Нечеткие подмножества можно аппроксимировать обычными множествами, т. е. формировать обычное множество, ближайшее к нечеткому. Такую аппроксимацию выполняют в соответствии с правилом:

где р-л (ut) — функция принадлежности элемента ЕЕ U нечеткому подмножеству А универсального множества U; %в (щ) — характеристическое число обычного множества /?, которое является ближайшим к подмножеству А.

Введенные операции над нечеткими множествами позволяют проводить формализацию составных терминов, которые представляют собой качественную информацию. Рассмотрим на примере вычисление составного термина.

Пусть диапазон изменения величины технологического параметра задан в виде универсального множества U = 1 + 2 + 3 + + 4 4- 5. Величина параметра, характеризуемого терминами «высокий» и «низкий», формализована с помощью нечетких подмножеств Ay и А2 универсального множества U:

Наблюдения за поведением технологического процесса показали, что в некоторый момент времени величину данного параметра можно характеризовать следующим образом: «не очень низкий и не очень очень высокий». Требуется выполнить приближенную количественную оценку величины технологического параметра, т. е.

вычислить значение составного термина В = «не очень низкий и не очень очень высокий». Применяя операцию концентрирования

(2.9) к подмножеству А1? получим А = очень низкий == 1/1 + + 0,64/2 + 0,36/3 -f 0,16/4 + 0,04/5. Аналогично ^2== очень высокий = 0,04/1 + 0,16/2 + 0,36/3 + 0,64/4 + 1/5; (А I)2 = очень очень высокий ^ 0,1/3 + 0,4/4 + 1/5. Используем операцию

А

дополнения нечетких подмножеств (2.7): |(Ai) — не очень низкий = 0,36/2 + 0,64/3 + 0,84/4 + 0,96/5. Аналогично получим

((А*)2) = не очень очепь высокий ^ 1/1 + 1/2 + 0,9/3 + 0,6/4. Окончательно будем иметь

Из полученного результата следует, что максимальная степень принадлежности нечеткому подмножеству В универсального множества U (или, что эквивалентно, диапазона изменения технологического параметра) имеет место у элементов и — 3 и и = 4.

Если в результате решения задачи требуется получить конкретное число, а не множество, то обычно выбирают такой элемент универсального множества ?/, стеиень принадлежности которого полученному множеству максимальна. В случае, если таких элементов несколько, должно быть задано правило, по которому следует выбирать элемент универсального множества. В качестве такого правила может быть принято нахождение среднего арифметического, минимального или максимального элемента. В рассмотренном выше примере вычисления составного термина можно выбрать и = 3. Такой выбор согласуется с тем, что формализуемый термин можно приближенно аппроксимировать термином «средний».

Для приложений важен принцип обобщения, который позволяет расширить область задания универсального множества U. Пусть имеем два универсальных множества U и F, а также нечеткое подмножество А универсального множества U. Предположим, что найдено или задано отображение /: U —»- V. Тогда при переходе от множества U к множеству V функция принадлежности iA (гг,) нечеткого подмпожества А не изменяется. Формально это записывается следующим образом. Если

то

Из последнего тождества следует, что в подходе нечетких множеств постулируется следующее правило. При переходе от одной системы координат к другой величина функции степеней принадлежности

(Дд (и) для элементов и€Е U нечеткому подмножеству не изменяется. Поэтому решение конкретных задач можно выполнять в некотором выбранном заранее множестве, а результат перевести в область фактических величин изменения параметров ФХС. То обстоятельство, что решение задачи может находиться в множестве, отличном от диапазона изменения величины параметра, оправдывает термин «универсальное множество».

Наряду с тем что понятие нечеткого множества является обобщением понятия обычного множества, проводят аналогию и выделяют различия между теорией вероятностей и теорией нечетких множеств [19].

Рассмотрим систему аксиом теории вероятностей Колмогорова [26]. Пусть Е — конечное универсальное множество, (Е) —

множество всех его подмножеств if А — подмножество & (Е), обязательно содержащее Е. Подмножество Д является вероятностным семейством подмножеств множества Ел если выполняются два условия:_

  • 1. У А ЕЕ Д; А Д, где А — дополнение множества А.
  • 2. V Лед и У В е Д; А и в ее Д.

Свойства 1 п 2 влекут за собой следующие свойства:

  • 3. 0 6 Д.
  • 4. VА и УВ; А Г В (Е Д.
  • 5. V А и У В; А В = A f] В ЕЕ Д.

Если Е — бесконечное (счетное или несчетное) универсальное множество, то № (Е) — несчетное. Пусть А — подмножество (Е), обязательно содержащее Е. Говорят, что семейство Д вероятностное, если

  • 6. VА ЕД;1е Д.
  • 7. Для любой счетной последовательности А Л2, . . ., Лп, . . .

. . ЕД следует Аг (J А2 U , • . U Ап(J, . . е Д. Последнее условие является обобщением свойства 2.

Определим понятие вероятности. Пусть дано вероятностное семейство Д СГ 3* (Е). Вероятностью называется однозначное отображение подмножества Д в множество Л* неотрицательных действительных чисел, обладающее следующими свойствами:

  • 8. У А е Д; рг (А) > 0.
  • 9. У А е д И V/? е Д; А Л В = 0 =» pr (A U Я) =

= рг (А) 4- рг (В),

10. рг (Е) = 1.

рг (я) — образ элемента х ЕЕ Д в /?+.

Аксиомы 1,2, 8—10 или 6, 7, 8—10 ставят в соответствие каждому элементу семейства Д d & (е) неотрицательное число, меньшее или равное единице.

Исходя из аксиом 1, 2, 8, 9, 10, можно доказать следующие свойства вероятностей:

рг (0) = 0;

рг {Л) = 1 — рг (Л);

рг (Л) + рг (В) = рг (A (J Л) + рг (Л f| В);

В СГ л =ф рг (В) < рг (Л).

ГО

Таблица 2.2. Основное Определения вероятности и нечеткости событий

В теории

вероятностей

В теории нечетких множеств

Запись

определение

интерпретация

определение

интерпретация

1. 0

рг (0) = о

Множество событий пусто; вероятность появления событий равна нулю

И0(*) = 0

; Vx<=X

Нечеткое множество пусто; степень «принадлежности равна нулю для всех хеХ

2. Е пли

X

рг (Е) = 1

Множество событий универсальное; вероятность появления событий равна единице

1х (х) =

L; VxeX

Нечеткое множество совпадает с универсальным

3. А

рг(Л) = 1 — рг (Л)

Событие А является противоположным событию Л

р.(х) = 1 —рА(х); Vxe X

А

А нечеткое множество, представляющее дополнение нечеткого множества Л

4. Л П Д

рг (Л п 5) =

Наступают одновременно

Ил п в (х-

(Л П В) — нечеткое множест-

= рг(Л)-рг (В)

два независимых события А п В

= min (pi

А(*Ь iAB(x)}; VxeX

во, представляющее пересечение двух нечетких множеств Л, В

5. ЛиБ

рг (Л U В) =

Наступает одно из событий

fxi!BW =

(A U В) — нечеткое множест-

= рг (Л) + рг (Я) —

_ рг (Л п

Л или В

= шах {u

A (*)• Mx)>'»

Vxe X

во, представляющее объединение двух нечетких множеств Л и В

6.ЙС/1

рг (5) < рг (Л)

Событие А включает в се-

(*); Vxe х

Ночсткое множество А вклю-

бя событие В

чает в себя нечеткое множество В

7. Л?

рг (ЛВ) = рг(ЛПП.= = рг (Л)*рг (? ) =

= рг(Л)[1-рг(?)1 = = рг (Л) — рг (Л) рг (В)

Наступает событие Л, но не В (Ли В— независимые) t

РаВ —

Иа (x) ““ Pb (x) *

если pA (x) > pB (*)

0 в противном

случае

Разность нечетких множеств A vl В

В табл. 2.2 приведены основные соотношения теории вероятностей и подхода нечетких множеств, которые иллюстрируют аналогию этих подходов.

Если для вычисляемых или измеряемых параметров х известна условная вероятность перехода химико-технологической системы (ХТС) от допустимых состояний > ха) к недопустимому С < ха), то функция принадлежности, характеризующая степень риска от последствий принимаемого решения, может быть определена из условия предпочтения тех состояний, для которых степень риска меньше. Пусть при выборе решения по улучшению функционирования ХТС рассматриваются две альтернативы: хг и я2, причем хх более предпочтительно, чем х2. Это условие с помощью условных вероятностей можно записать следующим образом:

Тогда в качество функций степеней принадлежности принимают [14, 20]

Ц Ы = И — Р (X < :Са)).

При задании функции принадлежности объединения нечетких множеств А и В в X через алгебраическую сумму их функции степеней принадлежности 114, 20]

наблюдается аналогия определения вероятности суммы независимых случайных событий А и В.

Если функция принадлежности пересечения нечетких множеств А и В (см. выражение 4, табл. 2.2) определяется через алгебраическое произведение их функций принадлежности

то при независимости событий А и В соотношение (2.13) совпадает с определением вероятности произведения событий. В двух последних случаях функции принадлежности задаются через вероятности суммы и произведения независимых случайных событий.

Важно также отметить различия предложенных в [20] соотношений для определения функций принадлежности объединения (2.12) и пересечения (2.13) нечетких множеств от выражений 4 и 5, приведенных в табл. 2.2. Если i/сЛ, т. е. рв {х) iA (*)» Ух €Е Ху то функции принадлежности р^пв (*)» Цдив (х) в соотношениях 4 и 5 всегда зависят только от одной из функций рА (х)у рв (х) при произвольном значении другой. При вычислении объединения и пересечения нечетких множеств в соответствии с выражениями (2.12) и (2.13) на функции рАив (я) и И-лпв (х) оказывают влияние обе функции рА (я) и рв (я).

Приведенные выше системы аксиом и определения позволяют сделать следующие замечания об аналогии и различиях между теориями вероятностей и нечетких множеств, а также о возможности использования оценок вероятностей в качестве функций степеней принадлежности.

Неопределенности, встречающиеся в задачах оптимизации функционирования ХТС и являющиеся следствием случайных неконтролируемых факторов, воздействующих па ХТС, неточностью знаний, принципиальной невозможностью или ненужностью получения точных решений представляют собой общую (сходную) причину вероятности и нечеткости. При этом вероятность является объективной характеристикой, тогда как степень принадлежности определяется сугубо субъективно, хотя при этом меньшую степень принадлежности естественно приписывать тому событию, которое, будучи рассмотрено с вероятностных позиций, имело бы меньшую вероятность появления.

Для задания оценок вероятности и нечеткости используется один и тот же числовой интервал [0, 1], отображающий всевозможные степени нечеткости и вероятности из-за неопределенности состояний ХТС. При этом следует обратить внимание на то, что недостаточно с каждым подмножеством (например, А, В) связать число Р ЕЕ [0, 1] и назвать Рего вероятностью; должны быть справедливы пять аксиом 1, 2, 8, 9, 10 теории вероятностей. Наряду с этим любые величины ре [0, 11, определенные по методикам построения функций принадлежности, принимаются в теории нечетких множеств как меры нечеткости. В этом смысле функции степеней принадлежности в теории нечетких множеств являются более универсальными средствами отображения неопределенности и могут быть использованы в тех случаях нечеткости, в которых из-за невыполнения условий системы аксиом нельзя воспользоваться вероятностью.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >