Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации

Одной из основных трудностей применения моделей для принятия решений является представление суждений в виде числовых значений (своеобразной функции полезности) по некоторой шкале. Любой метод такого представления должен удовлетворить многим критериям. Некоторая неопределенность в суждениях экспертов не должна сильно влиять на соответствующее числовое значение, и, наоборот, значительная разница в суждениях должна отражаться столь же значительным разбросом на числовой шкале. Кроме того, модель должна давать возможность получать близкие суждения при небольших отклонениях в числовом представлении суждений.

Рассмотрим построение алгоритмов упорядочения объектов (альтернатив, КЭ) задач ОФХТС на основе нечеткой информации, полученной экспертным опросом.

При построении числовых предпочтений у экспертов обычно спрашивают: а) какой из двух объектов, по их мнению, более важен; б) насколько сильна в их представлении разница в важности, если воспользоваться некоторой задапной шкалой.

Для построения шкалы важности рекомендуется (18) использовать ранги важности (табл. 6.6).

Пусть Z = zlt . . ., zn — вектор истинных значений относительной важности п рассматриваемых объектов; W = ©х, . . .

. . ., о>п — вектор относительных оценок, полученных при ранжировании объектов при экспертном опросе; 2 z;- = l; 2 (Dj = l.

j=T7n ;=Т7й

Если все экспертные оценки точны (o)j = Zj; V/), то матрица попарных сравнении Л, элементы которой равны atj = = (Of/соj, является состоятельной, т. е. для нее выполняются соТаблица 6.6. Ранги важности при сравнении объектов, альтернатив для решения задач ОФХТС экспертным методом [18|

Степень

важности

Определение

Пояснение

0

Объекты несравнимы

Сравнение двух объектов бессмысленно

1

Объекты одинаково важны

Оба объекта носят одинаковый вклад в достижение поставленной цели

3

Один немного важное другого (слабое превосходство)

Есть некоторые основания предпочесть один объект другому, по их нельзя считать неопровержимыми

5

Один существенно важнее другого (сильное превосходство)

Сущестьуют важные свидетельства того, что один из объектов более пажеп

7

Один явно важнее другого

Имеются неопровержимые основания, чтобы предпочесть один другому

9

Один абсолютно важнее другого

Превосходство одного из объектов очевидно, что не может вызвать ни малейшего сомнения

2, 4, 6, 8

Числа, обратные перечисленным выше

Значения, приписываемые промежуточным суждениям

Если при сравнении с объектом А объект С получил один из указанных выше раигов, то Б при сравнении с А получает обратное значение

Используются, когда выбор между двумя соседними нечетными числами вызывает затруднение

отноптепия аиа^ = д,*, и в частности ац = 1, a,-f = [18].

Состоятельная матрица А имеет единичный ранг. Отсюда п — единственное собственное число матрицы .1; характеристическое уравнение {Лее = /ко} фф {(А — гг Г) <о = 0} матрицы А имеет единственное ненулевое решение (со Ф 0), обладающее свойством У,о)^= 1. Если экспертные оценки неточны (со;- Ф Zj V/), то матрица А не является состоятельной, по крайней мере нарушаются условия aJh aJk = aikt V/; V/; VAr; ранг А Ф 1; максимальное собственное значение матрицы А,тах Ф п и не все остальные собственные значения равны нулю. Согласно теории матриц собственные значения матрицы А являются непрерывными функциями ее элементов.

При малых возмущениях в элементах состоятельной матрицы наибольшее из собственных значений будет близко к п, а все остальные будут близки к нулю. Таким образом, предположив а л = = 1 и Vi, / = 1, п и получив решение уравнения Лео = ах<о, можно судить о качестве матрицы по тому, насколько близко к п окажется Д,тах. Тем самым установим, насколько близки экспертные оценки к истинным. Величина | Хгаахп | свидетельствует о внутренней несогласованности оценок экспертов и о необходим мости их уточнения.

Рассмотрим некоторые алгоритмы восстановления экспертных оценок по изложенному выше подходу.

Алгоритм 4. Упорядочение (или группировка) объектов 0 . . 0п по одному КЭ путем экспертного опроса.

Ш а г 1. Получим на основе ранжирования важности объектов экспертным опросом (см. табл. 6.6) относительные экспертные

п

оценки важности: W /=1,п; 2 = 1, и определим

i=i

матрицу попарных сравнений объектов

А = || аи ||; аи = с0,/ю/, / = 1, п. (6.90)

Ш а г 2. Вычислим вектор собственных значений матрицы А и определим наибольшее собственное значение Хтах.

III а г 3. Проверим необходимость пересмотра и уточнения экспертных оценок (с переходом к шагу 1), если | Л,пахп | > > ?, где | — требуемая точность. Если | Хшахп | ^ то можно считать матрицу А достаточно состоятельной.

Ш а г 4. Решим систему уравнений (А — Хтах /) со = 0 с уче-

Т»

том условий нормировапности вектора со: 2 (0j== 1 • Определим

9-1

восстановленные нормированные оценки <о, решая следующую обобщенную систему уравнений:

где а — вспомогательная переменная; К €= Яп — вектор штрафных коэффициентов, К = {Ay}, Ау^> 0, j = 1, п, в частности Ay^lO6—107; е ^ Яп вектор, все элементы которого равны единице; нетрудно проверить, что Ау оо, а* 0.

Ill а г 5. Упорядочим (или сгруппируем) объекты по восстановленным опепкам:

При ОФХТС алгоритм 4 может найти применение для ^окончательного выбора оптимальных решений из множества альтернатив, каждая из которых является оптимальным решением задачи ОФХТС, полученным с помощью одного метода (в этом случае в роли экспертов выступают различные алгоритмы решения одной и той же задачи ОФХТС, экспертные оценки устанавливаются на основе оптимальных значений КЭ задачи ОФХТС, соответствующих различным решениям); 2) группировки конечного множества сравнимых объектов по какому-либо признаку упорядочения вариантов ОФХТС экспертным путем по качественному критерию;

  • 3) упорядочения вариантов ОФХТС по качественному критерию;
  • 4) упорядочения КЭ (или признаков подобия) и восстановления весов их относительной важности; 5) определения функций принадлежности, позволяющих оценить относительные степени принадлежности объектов к группам в смысле определенного признака подобия. Признаки подобия, в свою очередь, используются как исходная информация для решения задач классификации с помощью алгоритмов 1—3. Отсюда вытекает возможность комбинации алгоритмов 1—3 и 4 для решения задач оптимизации структур ХТС, ГАХТС в условиях нечеткой информации.

Алгоритм 5. Экспертное упорядочение (или группировка) объектов при наличии многих сложных КЭ с неизвестными отношениями предпочтения. Пусть требуется экспертным путем упорядочить или сгруппировать конечную совокупность объектов 0i, . . ., Оп одновременно по многим критериям (признакам) Fl$ . . ., Fm с неизвестными весами важности критериев. Решение этой задачи осуществляется в следующей последовательности.

Ill а г 1. Экспертным путем упорядочим по важности (сгруппируем) множество критериев (признаков) Fu . . ., Fkt . . ., F,n, используя алгоритм 4. Пусть = (plt . . Р*, . . pm) ^ Rm -

вектор восстановленных нормированных экспертных оценок важности этих критериев (признаков).

Ш а г 2. Для каждого критерия (признака) Fk = 1, т) экспертным путем упорядочим (сгруппируем) объекты 0Х, . . .

. . ., Ojy . . ., 0П, используя алгоритм 4. Пусть со* = (со*,, . . .

. . ., со*.у, . . ., щп) Rn — вектор восстановленных оценок относительной важности (близости) по критерию (признаку) F сравниваемых объектов.

III а г 3. Определим вектор обобщенных нормированных оценок важности (близости) по совокупности критериев (признаков) Z = (zlt . . ., zn) ЕЕ Rn па основе построения линейной комбинации этих критериев:

где W[mxrj] — матрица, состоящая из векторов строк со* == = ГГт), т. е. W = || Wjfj ||; к = 1,' т; ; = 1, п.

Пример 2. Иллюстрируем работу алгоритмов 4 и 5 для решепия следующей ЗПР: необходимо выбрать один из трех вариантов проектирования ХТС, обозначаемых через А, В, С, при учете шести критериев эффективности Ki— Кву которые расположены по степени важности. Пусть в результате попарного сравнения критериев экспертным путем получим матрицу

В результате* экспертной прогнозирующей оценки о важности вариантов проектирования ХТС в смысле каждого из КЭ получим также матрицы попарных сравнений альтернатив:

Восстановим относительные веса важностей КЭ по заданной матрице Ajg Для этого а) определим максимальное собственное значение матрицы: К{А) = 6,35; отклонение этой величины от п = 6 означает внутреннюю рассогласованность экспертов; б) восстановление весов важности КЭ сведем к решению следующей системы линейных уравнений относительно неизвестных весов W1 (К). . . W9 (К) н вспомогательной переменной z:

Решение этой системы уравнений имеет вид <0, (Я") = 0,16; о)2 (К) = 0,19; (о3 (К) = 0,19; (о4 (К) = 0,04; w6 (К) = 0,12; о>в (К) = 0,30; г = W13.

Аналогичным образом восстановив веса важности альтернатив Л, В, С

Обобщенная оценка предпочтения альтернатив при свертке КЭ по оценкам их важности Wj (К) — <о* (К) получается при умножении матрицы D на вектор (!>i (К) — сов (К).

Получим WA = 0,4; WB = 0,34; Wc 0,26, следовательно, предпочтительнее всех является вариант А, худшим является С, следовательно, имеем А > В > С.

Рассмотрим еще один экспертный метод принятия решений ОФХТС в случае с качественным КЭ 119].

Алгоритм в. На основе данных опроса экспертов в соответствии с качественным КЭ, который представляет собой нечеткое групповое предпочтение, в ЭВМ формируется на множестве возможных решений скалярная функция, в определенном смысле согласованная с нечетким групповым предпочтением. Эта функция задается в интервальной шкале измерений и позволяет выбрать наилучшее решение в условиях неопределенностей разного рода.

Пусть имеется некоторое исходное множество решений ОФХТС X = {#1, х2> . . ., xn}, которые надо оценить количественно в соответствии с некоторым качественным КЭ /Г, т. е. имеется задача о шкалировании качественного КЭ. На основе этих количественных оценок в дальнейшем будет осуществлен выбор наилучшего решения в X. Мы должны разработать некоторую процедуру, позволяющую отобразить X в Л1. Контролирует эту процедуру качественный критерий X, и контроль осуществляется через группу экспертов (специалистов), которые формулируют К. Входными данными для процедуры являются данные, полученные в результате эвристического эксперимента с группой специалистов. В результате этого эксперимента выявляются предпочтения экспертов на парах решений из X, отражающие их деловой опыт и профессиональные знания.

Пусть группа экспертов состоит из N человек. Каждый эксперт усвоил содержание качественного критерия К. Каждому эксперту, например, v-му, для сравнения по критерию К предъявляется пара решений xit Xj X. Он должен дать один ответ: или х{ >- Xj, или дг,- Xj. Эксперту предъявляются все возможные пары решений из X. Вообще говоря, множество пар может быть велико. Вопрос о сокращении объема опроса рассмотрен в [20]. В результате эксперимента с v-м экспертом получим матрицу || б||, где t, j = = 1, л, a 6(iJ равно единице, если эксперт ответил xt >- Xj, и равно нулю в противном случае.

Осуществляем таким образом опрос всех экспертов в группе. В результате получим входные данные для процедуры в виде N матриц вида || ||; т = 1, N. Данные эксперимента по самой своей

сущности представляют нечеткое бинарное отношение предпочтения на X. Это связано с двумя причинами. Во-первых, эксперимент неполный, полную информацию о предпочтениях даже одного эксперта на X трудно получить. Во-вторых, предпочтения экспертов не совпадают, и это тоже рождает неопределенность. Получением данных эксперимента (опроса) исчерпывается неформальная часть процедуры. В дальнейшем эти данные вводятся в ЭВМ, и она осуществляет весь расчет и распечатку результатов.

На основе данных эвристического эксперимента в результате предварительной обработки получим следующее. Вводим новые N

величины Wjj = 2 Это число голосов, поданных за решение

V—1

Xi против решения xj. Ясно, что О nfj ^ N; пц + пц = N. Кроме того, пц = N12, если xt ~ Xj (эквивалентны), и тогда Пц — = N!2, поскольку xt ~ xj. Здесь использован психологический факт, что люди лучше различают непохожие (далеко отстоящие друг от друга) явления и плохо различают похожие (близкие) явления. Введем величины ztJ ~ ntJпп = 2пХ)N. Эти величины могут быть и положительными, и отрицательными и обладают следующими свойствами:

п

где Я, 0; 2 ^=1. Таким образом, в результате предваритель-

i =i

ной обработки данных эвристического эксперимента (опроса) получим матрицу || ztJ

Числа (количественные оценки), которые процедура припишет решениям из X, обозначим через xt (i = 1, п). Тогда запись

есть аналитическое выражение упомянутого выше психологического факта. Кроме того, пусть числа и< удовлетворяют следующему условию:

Выполнение этого условия позволит нам задать числа р,- в однородной интервальной шкале [21]. Из (6.95) и (6.96) вытекает условие

Такое представление чисел р* не нарушает (6.95). Действительно, пусть Z{j удовлетворяют (6.97). Тогда имеем

Пусть Zij не удовлетворяют (6.97). Поскольку эксперимент протекает произвольно, то чаще следует ожидать именно этот случай. Тогда вместо (6.95) используем следующее предположение:

где zij — элементы новой матрицы, полученной из || ztj || некоторым сглаживанием (корректировкой). Это сглаживание должны выполнить, если не хотим отказаться от интервальности и однородности шкалы. При этом желательно сохранить представление

(6.98) . Сглаживание проводим следующим образом. В матрице || ztJ || выделим v-ю строку. Это значит, что выбрали zy) (; = 1, п). Одновременно известпы элементы v-ro столбца ziv = —Zyt (i = = 1, п). Из этих (2п — 1) элементов можем сформировать матрицу, любой элемепт которой вычисляется по следующей формуле:

zuу) = ziv + Zy,j. (6.100)

Элементы zxi (д^,) удовлетворяют (6.94) по определению. Таких матриц строим п по числу Xv (v = 1, п). На основе этих п матриц построим одну по следующему правилу:

Можно показать, что элементы этой матрицы удовлетворяют (6.Й7). Осталось показать, что эта процедура сохраняет представление

(6.98) , так как

Таким образом, на основе представления (6.98) в ЭВМ каждому решению Xi припишется число р* в однородной интервальной шкале. Числа р* упорядочивают X и согласованы с первоначальным нечетким групповым отношением предпочтения на парах решений из X. Наилучшее решение определяется из уравнения

Числа щ могут быть как положительными, так и отрицательными. Разрешенными преобразованиями для них являются = ар, -J- -f р; а 0; р — произвольное число. Применив это линейное

п

преобразование, получим числа /?,, такие, что pt > 0; 1.

Тем самым все изложенные выше результаты, инвариантные относительно разрешенных преобразований, справедливы и для случая, приведенного в работе |21), когда данные эксперимента задаются в виде матрицы вероятностей предпочтения || рц |, а р* в виде

где ри = Р (xf >- Xj) = (rijj + )/(N -j- 2) (карнаповская оценка). В этом случае обоснованной является также последовательная процедура уточнения pf, приведенная в работе |22|.

Описанные выше алгоритмы могут быть рекомендованы для решения различных классов ЗПР для ОФХТС в виде задач упорядочения н группировки объектов при учете одновременно многих сложных (количественных, качественных) КЭ или признаков подобия.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >