АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
ГРУППЫ Определение группы, примеры и основные свойства групп Определение группы, терминология Примеры групп Числовые группы. Группы подстановок. Группы в геометрии. Группы в линейной алгебре. Основные свойства групп ПодгруппыКонтрольные вопросыЗадачи Порядок элемента группы Определение и примеры Основные свойства порядков элементов группыКонтрольные вопросыЗадачи Циклические группы Определение и примеры Подгруппы циклических групп Порождающие элементы циклической группыКонтрольные вопросыЗадачи Смежные классы Определение и примеры Основные свойства смежных классов Теорема Лагранжа и следствия из нееКонтрольные вопросыЗадачи Нормальная подгруппа и факторгруппа Определение нормальной подгруппы, примеры Факторгруппа Аддитивная группа классов вычетов Мультипликативная группа классов вычетов Классы сопряженных элементовКонтрольные вопросыЗадачи Изоморфизмы групп Определение и примеры Основные свойства изоморфизмов групп Изоморфизмы циклических групп Связь конечных групп с группами подстановокЗадачи Гомоморфизмы групп Определение и свойства гомоморфизмов групп. Ядро гомоморфизма Теорема о гомоморфизмахЗадачи*. Конечные абелевы группы Прямое произведение подгрупп Разложение циклических групп в прямое произведение своих подгрупп Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгруппКонтрольные вопросыЗадачи КОЛЬЦА И ПОЛЯ Определение и основные свойства колец Определение и примеры колец Основные свойства колецКонтрольные вопросыЗадачи Определение и основные свойства полей Определение поля, примеры Основные свойства полейКонтрольные вопросыЗадачи Подполя, подкольца, идеалы Изоморфизмы и гомоморфизмы колец и полей Характеристика кольца и поля ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦАХ Основные понятия теории делимости в области целостности Область целостности Определение и основные свойства делимости Наибольший общий делительКонтрольные вопросыЗадачи Факториальные кольца Простые элементы области целостности Определение факториального кольца и примеры разложений на простые множители Нахождение НОД и НОК в факториальном кольцеКонтрольные вопросыЗадачи Евклидовы кольца Евклидово кольцо и алгоритм Евклида Взаимно простые элементы евклидова кольца Факториальность евклидова кольцаКонтрольные вопросыЗадачи Примеры евклидовых колец Евклидовость кольца целых чисел Евклидовость кольца целых комплексных чисел Евклидовость кольца многочленов над полем Примеры неевклидовых колецКонтрольные вопросыЗадачи Кольца главных идеалов Определение и примеры колец главных идеалов Существование разложения на простые множители в кольце главных идеалов Факториальность кольца главных идеаловКонтрольные вопросыЗадачи РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ Алгебраический над данным полем элемент и его минимальный многочлен Алгебраические и трансцендентные элементы над полем Минимальный многочлен алгебраического элемента Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дробиКонтрольные вопросыЗадачи Степень расширения Базис и степень расширения Повторное расширение поляКонтрольные вопросыЗадачи Простое расширение поля Простое алгебраическое расширение поля Простое трансцендентное расширение поля*. Существование простого алгебраического расширения поля и поля разложения данного многочленаКонтрольные вопросыЗадачи Составное расширение поля Повторное алгебраическое расширение поля Составное расширение поляКонтрольные вопросыЗадачи Поле алгебраических чисел Квадратичные расширения полей От геометрии к алгебре Неразрешимость некоторых задач на построение циркулем и линейкой*. Разрешимость уравнений в радикалахКонтрольные вопросыЗадачи Конечные поля Число элементов конечного поля*. Мультипликативная группа конечного поляКонтрольные вопросыЗадачи*. Конечные тела Предварительные сведения Основная теорема о конечном теле*. Алгебры над полями Тело кватернионов Алгебры с делением конечного ранга над полем действительных чиселКонтрольные вопросыЗадачи
