Подгруппы циклических групп

Следующая теорема описывает строение подгрупп циклических групп.

Теорема 1.4. Подгруппа циклической группы циклическая. Если G = (a)uHнеединичная подгруппа группы G,moH = (ап), где пнаименьшее натуральное число, такое что ап е Н.

Доказательство. Пусть G = (а) и Н — подгруппа группы G. Если подгруппа Н единичная, то Н = (е) — циклическая группа. Пусть Н — неединичная подгруппа. Обозначим через п наименьшее натуральное число, такое что ап е Н, и докажем, что Н = (ап). Включение (ап) с Н очевидно. Докажем обратное включение. Пусть h е Н. Поскольку G = (а), то существует целый показатель к, такой что h = ак. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 < г < п. Если предположить, что г Ф 0, то получим h = ак = ап<г = апч • аг, откуда ar = а~пчН е Н. Пришли к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к - nq. Отсюда h = ak = апч е <а"). Таким образом, Н с (ап), а значит, Н = (ап). Теорема доказана.

Порождающие элементы циклической группы

Какими элементами может порождаться циклическая группа? Отвечают на этот вопрос следующие две теоремы.

Теорема 1.5. Пусть дана циклическая группа G = (а) бесконечного порядка. Тогда (а) - (ак) тогда и только тогда, когда к — ± 1.

Доказательство. Пусть G = (а), |а| = °° и (а) = к). Тогда существует целое число п, такое что а = акп. Отсюда а*"-1 = е, а так как | а = то кп - 1 = 0. Но тогда кп = 1 ик- ± 1. Обратное утверждение очевидно.

Теорема 1.6. Пусть дана циклическая группа G = (а) порядка т. Тогда (а) = (ак) тогда и только тогда, когда НОД(/с, т) = 1.

Доказательство. (=>) Пусть (а) = к), докажем, что НОД(/с, т) - 1. Обозначим НОДЦс, т) - d. Поскольку а е (а) - (ак), то а = акп при некотором целом п. По свойству порядков элементов отсюда следует, что (1 - кп) : т, т.е. 1 - кп = mt при некотором целом t. Но тогда 1 = (кп + mt) : d, откуда d = 1 и НОД(/с, т) = 1.

(<=) Пусть НОД (к, т) = 1. Докажем, что (а) = к). Включение к) с (а) очевидно. Обратно, из условия НОД№, т) = 1 следует существование целых чисел и и v, таких что ки + mv = 1. Пользуясь тем, что | а | - т, получаем а = aku+mv = akuamv = аки е (ак). Следовательно, (а) = (ак). Теорема доказана.

Напомним, что функция Эйлера ф(т) определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа т и взаимно простых с т. Отсюда получаем следствие.

Следствие. Циклическая группа (а) порядка т имеет ф(т) различных порождающих элементов.

Для придания геометрической наглядности теореме 1.5 изобразим циклическую группу G = (а) порядка т точками окружности А0, Аь ..., Ат_ь делящими ее на т равных частей. Элемент ак данной группы, соответствующий точке Ак, будет порождающим тогда и только тогда, когда, соединяя последовательно точки А0, Ак, А и т.д., мы придем в точку А]. Найдем все такие к при т = 10 простым перебором случаев (рис. 1.5). В результате получим к = 1,3, 7, 9. Для циклической группы (а) это означает, что (а) = (а3) = (а7) = (а9). Обратно: найдя к, взаимно простое с данным числом т, можно смело вычерчивать соответствующую «звездочку», твердо зная, что рано или поздно попадешь в каждую точку, ибо (а) = (ак).

Рис. 1.5

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >