Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Посмотреть оригинал

Смежные классы

Определение и примеры

Определение 1.9. Пусть G — группа, Н — ее подгруппа, g е G. Умножим каждый элемент h е Н слева на g. Получим множество gH = {gh h е Н}, которое называется левым смежным классом по подгруппе Н. Аналогично определяется правый смежный класс: Hg = {hg h е Н}.

Рассмотрим примеры.

1. Рассмотрим симметрическую группу подстановок трех символов S3 = {е, (12), (13), (23), (123), (132)} и в ней подгруппу четных подстановок А3 = {е, (123), (132)}. Умножим каждую четную подстановку слева на одну и ту же транспозицию (12). Получим класс всех нечетных подстановок:

Видим, что S3 = А3 и (12) ? А3 (рис. 1.6). Такое представление группы всех подстановок S3 называется разложением группы на левые смежные классы по подгруппе А3.

Рис. 1.6

Аналогично можно получить разложение группы S3 на правые смежные классы по подгруппе А3: S3 =A3u А3 • (12). Понятно, что это те же самые два подмножества подстановок.

2. Теперь возьмем подгруппу Я = {е, (12)} и подобным образом найдем левые смежные классы по подгруппе Я. Перебираем подстановки g, не входящие в Я, и образуем левые смежные классы gH, умножая каждую подстановку из Я слева на выбранную подстановку g:

В итоге получаем разложение группы S3 на левые смежные классы по подгруппе Я (рис. 1.7):

Рис. 1.7

Аналогично можно получить разложение группы S3 на правые смежные классы по подгруппе Я:

Замечаем, что хотя сами левые и правые смежные классы различны, количество левых смежных классов по подгруппе Я равно количеству правых смежных классов по этой подгруппе. Это, как мы покажем ниже, не случайно.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы