Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Посмотреть оригинал

Изоморфизмы групп

Определение и примеры

Две группы (G, •) и (G1; о) с групповыми операциями • и о будем считать одинаковыми и называть изоморфными, если их можно совместить так, что результаты операций над соответствующими элементами совпадут. Под совмещением групп (G, •) и Gb при котором Дх ?у) =Дх) °Ду) для любых элементов х, у е G (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Определение 1.17. Группа (G, •) называется изоморфной группе (Gj, о), если существует взаимно однозначное отображение / множества G на множество Gv такое что для любых элементов х, у е G выполняется равенство Дх • у) = Дх) о /(у). Имея в виду это равенство, говорят, что отображение / сохраняет групповую операцию. При этом отображение/называется изоморфизмом группы (G, •) на группу (Gv °).

Примеры.

1. Рассмотрим аддитивную группу действительных чисел R и аддитивную группу S скалярных матриц вида

где а е К, и сопоставим всякому действительному числу а е R матрицу Ма. Отображение Да) = Ма для любого ае R является, как легко видеть, изоморфизмом группы R на группу S.

  • 2. Отображение мультипликативной группы положительных действительных чисел М+ на аддитивную группу всех действительных чисел R, при котором всякому числу а е Наставится в соответствие десятичный логарифм этого числа lg(a) е R, обладает свойством lg(a • b) = lg(a) + lg(b), т.е. является изоморфизмом группы (М+, •) на группу (М, +). Этот изоморфизм можно увидеть, рассматривая график логарифмической функции. Практически этот изоморфизм использовался при вычислениях на логарифмической линейке, когда умножение чисел сводится к сложению отрезков.
  • 3. Рассмотрим отображение ф мультипликативной группы невырожденных матриц GLn(M) на группу (R*, •), при котором всякой матрице Л ставится в соответствие ее определитель А . Это отображение обладает свойством ф(Л • В) = |Л • В = = |А| • |В| = ф(Л) • ф(В). Однако отображение ф не является изоморфизмом, так как оно не взаимно однозначно.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы