*. Конечные абелевы группы

Прямое произведение подгрупп

Введем важную конструкцию, позволяющую группу «раскладывать на множители», подобно тому как всякое натуральное число можно разложить на простые множители.

Определение 1.20. Говорят, что группа G равна прямому произведению своих подгрупп А и В, если выполнены следующие условия:

  • 1) А =4 G, В =4 G;
  • 2) А п В = {е} — единичная подгруппа;
  • 3) Группа G порождается подгруппами А и В, т.е. всякий элемент группы G представим в виде произведения элементов, взятых из Л и В.

Обозначение: G =А х В. В случае аддитивной терминологии говорят о прямой сумме подгрупп и записывают G=A® В.

Теорема 1.20 (критерий прямого произведения). Группа G равна прямому произведению своих подгрупп А и В тогда и только тогда, когда всякий элемент из А перестановочен со всяким элементом из В и всякий элемент g е G однозначно представим в виде произведения g = ab, где ае А,Ь е В, т.е. если также g = аф^ dj е А, Ъг е В, то а = а b = bv

Доказательство. (=>) Пусть G = А х В. Для произвольных элементов а е А, b е В рассмотрим элемент a"1b"1ab. С одной стороны, поскольку А ^4 G, то а-1Ь-1аЬ = аг1 • Ь_1аЬ е А (так как Ь_1аЬ е А), с другой стороны, так как В =4 G, то а_1Ь_1аЬ = = а"1Ь~1а-be В (посколькуа-1Ь-1ае В).Следовательно,a-1b_1abе е А п В. Но по условию 2) из определения 1.20 АсВ = {е}. Следовательно, a"1b"1ab = е, откуда ab = Ъа.

Из доказанного и пункта 3) определения 1.20 следует, что всякий элемент g е G представим в виде g = ab, где а е А, Ъ е В. Пусть g = а1Ь1. Тогда ab = а1Ь1, откуда af аа = ДЬ-1. Но по пункту 2) определения 1.20 А п В = {е}. Следовательно, af1a = b1b_1 =е, откуда a = avb = bv

(<=) Пусть всякий элемент из подгруппы А перестановочен со всяким элементом из подгруппы В и всякий элемент g е G однозначно представим в виде произведения g = ab, где а е А, b е В. Тогда A=4G,B =4GnG-(A,B). Остается доказать, что А п пВ- {е}. Но предположив, что e*ge АглВ, получаем g-ae А и g = b е В, откуда g - а ? е - е ? Ь, что противоречит единственности представления. Теорема доказана.

Распространим определение прямого произведения на случай произвольного конечного числа подгрупп.

Определение 1.21. Группа G называется прямым произведением подгрупп Нь Н2,..., Нк, если выполнены следующие условия:

  • 1) подгруппа Я, G для любого i = 1, 2, ..., к;
  • 2) каждая из подгрупп Я, пересекается с подгруппой, порожденной остальными подгруппами, по единичной подгруппе;
  • 3) группа G порождается данными подгруппами.

Упражнение 1.6. Подобно теореме 1.20 сформулируйте и докажите аналогичный критерий прямого произведения нескольких подгрупп.

Приведем примеры.

  • 1. Мультипликативная группа действительных чисел R* = = Ах В, где А = {1, -1}, В = Ё+ — мультипликативная группа положительных действительных чисел.
  • 2. Напомним, что мультипликативная группа корней т-й степени из единицы определяется как Ст = (е), где е = cos (2п/п) + + isin(2rc/n). Имеем: С6 = (е2) х (е3).
  • 3. Аддитивная группа целых комплексных чисел Z + Zi = = Z ® Zi.
  • 4. Аддитивная группа рациональных чисел Q не разложима в прямую сумму ненулевых подгрупп, так как любые две ее ненулевые подгруппы имеют ненулевое пересечение (докажите!).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >