Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгрупп

Определение 1.22. Пусть р — простое число. Группа G называется р-группой, если порядок всякого элемента группы равен некоторой степени простого числа р.

Определение 1.23. Силовской р-подгруппой конечной группы G называется такая ее р-подгруппа, которая не содержится в большей р-подгруппе данной группы.

Теорема 1.25. Конечная абелева группа равна прямому произведению своих силовских р-подгрупп.

Доказательство. Рассмотрим конечную абелеву группу G порядка п и пусть п = р“! р2 2 • • • р*1k — разложение числа п в произведение степеней различных простых чисел. ДляЫ 1,2,..., к обозначим через Я, силовскую ргподгруппу и через Я, — подгруппу, порожденную всеми Я; для; * i. Легко доказать, что Я, п Я, = {е}. Следовательно, Я = (Н12,...,Нк) = Н1 хН2х...хНк. Предположим, что существует элемент g е G, такой что g g Я. По следствию 2 из теоремы Лагранжа |G| : |g|. Отсюда следует, что

|g| = pf'pjf2 •••Pkk> гДе Pi - ai Ддя любого i = 1, 2, к. По следствию из теоремы 1.23 существуют элементы g1; g2, ..., gk е G, такие что = х 2> х ... х (gk) и | g,-1 = pf1 для i = 1, 2, ..., /с. Если предположить, что g, g Я, для некоторого г, то получаем р,-подгруппу (gi, Я,) Ф Я,, что противоречит определению силов- ской р,-подгруппы. Таким образом, для любого i = 1, 2,..., /eg, е е Я„ откуда g е Н. Следовательно, Н = G и теорема доказана.

Теорема 1.26. Конечная абелева р-группа равна прямому произведению циклических подгрупп.

Доказательство. Пусть дана конечная абелева р-группа G. Выберем в ней элемент а максимального порядка р“, и пусть Я — максимальная подгруппа, такая что (a) n Н = (е). Тогда (а, Я) = (а) х Я. Обозначим Gj = (а) х Я.

Предположим, что G Ф Gy Из всех элементов, не принадлежащих Gx, выберем элемент g минимального порядка рР. Если предположить, что gPg Gb то поскольку |gp| = рР-1, мы приходим к противоречию с выбором элемента g. Следовательно, gP е Gx = (а) х Я и существуют целое число /с и элемент h е Я, такие что gP = afc/i. Отсюда ak = gp/i-1. Если НОД(/с, р) = 1, то НОД(/с, р°9 = 1 и существуют целые u, v, такие что /си + pav = 1. Тогда

В силу максимальности | а = ра имеем gP“ = е и е Ф аР_1 = = (gP"/i_u)P“_1 =gP“h~uPa~1 =/i_up““1 е Я, что противоречит условию (а) п Я = {е}. Следовательно, /с : р.

Пусть к = р/сх. Тогда aPfci = ak=gPh~1, откуда h = a~PkigP = = (a_fcig)P. Обозначим gj=a_/cig. Тогда gf-heH. Если предположить, что gj =arfc'geG] =(а)хН, то g е Gx, что противоречит выбору элемента g. Следовательно, gxg Gx, а значит, gj g Я. Поскольку Я — максимальная подгруппа с условием (а) п Я = (е), то (a) n (gx, Я) ^ {е}. Следовательно, существуют т, п е Z и элемент hj е Я, такие что е * ат = gf

Если предположить, что п:р,топ=рп1 при некотором n,eZ и е g am = gf/ij = gfni/ii e Я, что противоречит условию (a) n Я = = {e}. Следовательно, НОД(п,р) = 1 Hgf =am/if1. Если |gx| =pY,то НОД(п, р’О = 1 и существуют ux, vx g Z, такие что гшх -t-pYvx = 1. Отсюда g, =gfui+PYvi = gfUlgfYvi = gfUl =(am/i1-1)ui <=(a)xH = Gv Снова пришли к противоречию. Таким образом, остается принять, что G - (а) х Я. Теперь в подгруппе Я аналогично выделяем прямым множителем циклическую подгруппу максимального в Н порядка и т.д., пока не получим разложение группы G в прямое произведение циклических подгрупп. Теорема доказана.

Теорема 1.27. Конечная абелева группа равна прямому произведению циклических р-подгрупп.

Доказательство вытекает из теорем 1.25 и 1.26.

В заключение главы о группах отметим, что группу можно рассматривать как множество с одной бинарной операцией, которая ассоциативна, и для любых элементов а и Ъ однозначно разрешимы уравнения ах = Ь иуа-b. Этот взгляд на группу приводит к двум обобщениям. С одной стороны, можно сосредоточиться на изучении значения ассоциативности операции, и это приводит к понятию полугруппы как множества с одной ассоциативной операцией (см. работу [14]). С другой стороны, можно игнорировать требование ассоциативности, и это приводит к понятию квазигруппы как множества с одной бинарной операцией, относительно которой однозначно разрешимы названные уравнения. Квазигруппа с единицей называется лупой (см. работу [2]). Теория полугрупп и теория квазигрупп превратились в две самостоятельно развивающиеся содержательные теории. Мы о них не упоминаем в основном тексте из соображений «максимально возможной минимальности» объема.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >