Взаимно простые элементы евклидова кольца

Обобщим на евклидовы кольца понятие взаимно простых чисел.

Определение 3.12. Элементы а и b евклидова кольца К называются взаимно простыми, если НОД(а, b) = 1.

Теорема 3.7 (критерий взаимно простых элементов).

Элементы а и Ъ евклидова кольца К взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы u,v е К, такие что аи + b • v = 1.

Доказательство. (=>) Если элементы а и b взаимно просты, то, по определению, один из их наибольших общих делителей равен 1. Его линейная форма (найденная из алгоритма Евклида) имеет указанный в теореме вид.

(<=) Пусть а ? и + b ? v = 1. Обозначим НОД (a, b) = d. Поскольку а • d и b : d, то 1 : d, т.е. d является делителем единицы. Но тогда одним из наибольших общих делителей а и b является 1. Это и означает, что а и b взаимно просты.

Рассмотрим основные свойства взаимно простых элементов евклидова кольца.

1. Если (а • Ь) : с, а и с взаимно просты, то b : с.

Доказательство. Из условия взаимной простоты элементов а и с по критерию взаимной простоты (теорема 3.7) существуют элементы и и v, такие что а ? и + с ? v = 1. Умножив обе части равенства на Ъ, получим ab ? и + Ьс ? v = b. По условию, ab : с. Поскольку оба слагаемых делятся на с, то и их сумма, равная Ъ, делится на с.

2. Для элементов аиЪ евклидова кольца К, если НОД(а, Ь) = = d, то существуют элементы аи ЬЛ е К, такие что а = а, d, b = b1d и НОД(а]; ЬД = 1.

Доказательство. Из того, что НОД (а, b) = d, следует существование элементов а1; Ь, е К, таких что а = аД, b = ЬД. С другой стороны, существуют элементы и, v е К, такие что а-и + + b ? v = d. Тогда аДи + ЪДу = d, откуда ащ + bjV = 1. Следовательно, НОД(а1; ЬД = 1.

3. Если элементы и а2 евклидова кольца К взаимно просты с элементом b е К, то и произведение аг ? а2 взаимно просто с элементом Ъ.

Доказательство. По условию, НОД(а1; b) = 1 и НОД(а2, Ь) = = 1. Следовательно, существуют элементы иь v1? и2, v2 е К, такие что czjHj + bvj = 1 и а2и2 + bv2 = 1. Перемножив эти равенства, получим a1a2u1u2 + b(a1u1v2 + a2u2v1 + Ьу^уД = 1. Следовательно, НОДСа^з, b) = 1.

Многократным применением этого свойства можно доказать, что если каждый из элементов аь ..., ак взаимно прост с каждым из элементов Ьь ..., Ьт, то произведения • ... • ак и bj • ... • bm взаимно просты. Отсюда следует, что из взаимной простоты элементов а и b следует взаимная простота их степеней.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >