Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Посмотреть оригинал

Евклидовость кольца целых комплексных чисел

Определение 3.13. Для целого комплексного числа 0 Ф а - = а + Ы определим норму: /Да) = а2 = а2 + Ь2.

Теорема 3.12. Кольцо целых комплексных чисел евклидово. Доказательство. Следуя определению евклидова кольца, нужно установить два свойства нормы h(а). Первое свойство h(a|3) >h(а), h(f3) вытекает из свойства модуля комплексного числа. Докажем второе свойство — возможность деления с остатком. Пусть даны целые комплексные числа а и (3 Ф 0. Геометрически целые комплексные числа расположены в узлах целочисленной решетки, и где бы ни было расположено ком- ос „

плексное число —, оно попадет в некоторый квадрат этой

К

решетки (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Обозначим через у ближайшее к ^ целое комплексное число и положим 8=а - Ру, тогда а=Ру+8. Поскольку расстояние от центра единичного квадрата до любой его вершины равно < 1, то

2

~—у <1. Следовательно, |8|2 =|а-ру|2 =|р|2<1Р12- Таким

образом, h{8) < h{Р), и евклидовость кольца Z + Zi доказана.

Разделим с остатком а = 5 - 8; на (5 = 2 + 3/. Решение. Имеем

(X

Ближайшим к — будет целое комплексное число у=-1 - 2; (рис. 3.3). Обозначим

Тогда

и

Заметим, что если выбрать вершину квадрата = —1 — 3i, и найти Sj = а - pYj = 5 - 8i - (2 + 3() (-1 - 3i) = -2 + i, то получим а = Ру: + 81( причем 18j |2 = | -2 + i |2 = 4 + 1 < | (312 = 13. Значит, у-, также можно взять в качестве неполного частного. Остальные две вершины квадрата, содержащего не подходят (проверьте!).

ОС

Рисунок 3.4 показывает, что если — попадет в закрашенную

Р

область, то в качестве у можно взять любую из вершин квадрата, ос

содержащего —. Таким образом, деление с остатком в Z + Zi неоднозначно.

Рис. 3.4

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы