Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Посмотреть оригинал

Простое трансцендентное расширение поля

Пример простого трансцендентного расширения получаем, расширяя поле рациональных чисел с помощью трансцендентного числа л:

Теорема 4.5 (о строении простого трансцендентного расширения поля). Если атрансцендентный над полем Р элемент, то простое трансцендентное расширение Р(а) изоморфно полю отношений кольиа многочленов Р[х], т.е. полю

Доказательство. Искомым изоморфизмом является, как легко

проверить, отображение ф 1^1 -1^1 для любого элемента

sM

*. Существование простого алгебраического расширения поля и поля разложения данного многочлена

Определяя простое алгебраическое расширение Р(а), мы элемент а брали в некотором расширении F поля Р. Покажем, как можно построить расширение Р(а) без предположения о существовании поля F.

Пусть ф(х) — минимальный многочлен алгебраического элемента а. Докажем, что факторкольцо Р[х]/(ф(х)) (фактор- кольцо кольца многочленов с коэффициентами из поля Р по идеалу, порожденному многочленом ф(х)) изоморфно полю Р(ос). Для любого смежного класса h(x) + (ф(х)> определим f(h(x) + (ф(х))) = h(ос). Легко проверить, что отображение/ является искомым изоморфизмом Р[х]/(ф(х)) на Р(а). При этом /(х + (ф(х)}) = а и для любого элемента а е Р f (а + (ф(х))) = а. В силу этого изоморфизма можно считать, что факторкольцо Р[х]/(ф(х)> является простым алгебраическим расширением поля Р. При этом роль элементов поля Р выполняет множество

+ (ф(х)) | а е Р}, а роль присоединяемого элемента а — смежный класс х + (ф(х)).

Докажем существование поля разложения приведенного многочлена Дх) е Р[х], т.е. такого расширения F поля Р, которое содержит все корни аг, ос2п данного многочлена. Благодаря этому многочлен Дх) над полем F можно разложить на линейные множители: Дх) = (х - ах)(х - а2) • ? • (х - ап). Известно, что над полем Р данный многочлен можно разложить в произведение неприводимых множителей: Дх) = фДх) • ср2(х) • ... • фДх). Факторкольцо Р[х]/(фДх)), как показано выше, является простым алгебраическим расширением Р(ах), где ах = х + (фДх)) является корнем данного многочлена Дх) е Р[х]. При этом мы считаем, что Р есть множество + фДх) | а е Р}. Над полем Fx имеем разложение Дх) = (х - аД • Д (х). Теперь рассмотрим многочлен Д(х) над полем Р2 и повторим для него те же рассуждения. В результате получим простое алгебраическое расширение Р2 = РДа2), где а2 является корнем многочлена Д(х). Но тогда над полем Р2 имеем разложение /Дх) = (х - а2) /2(х), а значит, Дх) = (х - aa)(x - сс2) */2(х). И т.д., на последнем шаге получим искомое поле F = Fn, которое содержит все корни данного многочлена.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы