Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Посмотреть оригинал

Конечные поля

Число элементов конечного поля

Конечные поля по имени своего первооткрывапеля Э. Галуа называются полями Галуа.

Теорема 4.15. Конечное поле F характеристики р содержит q = рп элементов, где п есть степень расширения F относительно простого подполя Р.

Доказательство. Пусть F : Р| = п. Это значит, что векторное пространство F над полем Р имеет базис из п элементов: {Ь1; b2, ..., Ьп}. Но тогда всякий элемент а е Р однозначно представим в виде линейной комбинации базисных элементов: а = а1Ъ1 + а2Ь2 + ... + amb„, причем каждый коэффициент а,-, i = 1, 2, ..., п, может принимать р различных значений. Отсюда следует, что число таких линейных комбинаций равно q = р". Теорема доказана.

В силу доказанной теоремы поле Галуа обозначается GF(pn) или GF(q). Корректность этого определения вытекает из того, что, как будет показано ниже, конечное поле однозначно с точностью до изоморфизма определяется числом его элементов q=pn.

*. Мультипликативная группа конечного поля

Рассматривая поля классов вычетов по простому модулю, убеждаемся, что в них мультипликативная группа поля циклическая. Докажем, что это верно для любого конечного поля.

Теорема 4.16. Мультипликативная группа конечного поля циклическая.

Доказательство. Пусть Р — конечное поле и G = Р* — его мультипликативная группа. По теореме 1.25 она равна прямому произведению своих максимальных р-подгрупп по различным простым. Пусть S — одна из максимальных р-подгрупп группы G. Выберем в ней элемент максимального порядка. Пусть | а | = ра. Тогда для любого элемента s е S имеем sp“ = 1, откуда sPa -1 = 0. Следовательно, всякий элемент из S является корнем многочлена хр“ -1. Очевидно, а0, а, а2, ..., аР“-1 — различные корни этого многочлена. Но многочлен степени ра имеет не более чем ра различных корней. Следовательно, перечисленными степенями элемента исчерпываются все корни многочлена хр“ -1. Отсюда следует, что группа циклическая: S - (а). Итак, группа G является прямым произведением максимальных р-подгрупп, каждая из которых циклическая. Следовательно, G является прямым произведением циклических подгрупп взаимно простых порядков. По теореме 1.24 группа циклическая. Теорема доказана.

Установим ряд интересных и важных свойств элементов конечного поля, которые приведут нас к одному утверждению в теории чисел.

Теорема 4.17. Элементы конечного поля Р = GF(q) являются корнями многочлена хч - х.

Доказательство. Порядок мультипликативной группы Р* данного поля Р равен q - 1, следовательно, для любого ее элемента g имеем = е, где е — единичный элемент поля. Отсюда

следует, что всякий элемент поля является корнем многочлена хЯ - х. Теорема доказана.

Теорема 4.18. Произведение всех ненулевых элементов конечного поля равно -е, где еединичный элемент поля.

Доказательство. Пусть дано конечное поле Р = GF(q). Тогда порядок мультипликативной группы поля равен |Р*| = q - 1.

Пусть Р*=а, а2,..., а^}. Многочлен Слг^-1 -е)- П(*;) имеет

1 = 1

q - 1 различных корней, а его степень меньше q - 1. Следовательно, это нулевой многочлен. В частности, его свободный

q-l

член равен нулю: -е-(-1)‘?_1]_( =0. Если характеристика р

i=i

данного поля нечетна, то число q - 1 п - 1 четно и (-1)

q-l q-l

Но тогда -е - П ai = 0> откуда П а; = ~е- Если же характеристика

i=i 1=1

q-l

поля р = 2, то имеем е = -е, откуда снова получаем ]”[ а, = -е.

i=i

Теорема доказана.

Следствие (теорема Вильсона). Если натуральное число р является простым, то (р - 1)! = -1 (modp).

Доказательство. Множество всех ненулевых элементов поля Р = Zp исчерпывается классами вычетов {1,2, ...,р-1}, и по теореме 4, 1-2-...-р-1 = -1, откуда (р — 1)! = —1, что равносильно сравнению (р - 1)! s -1 (modp). (Другое доказательство см. в работе [3].)

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы