Контрольные вопросы
- 1. Существуют ли простые поля, состоящие из 4, 5, 6 элементов?
- 2. Может ли поле содержать 18 элементов?
- 3. Существует ли в конечном поле подмножество, образующее относительно умножения нециклическую подгруппу?
- 4. Чему равно произведение квадратов всех ненулевых элементов конечного поля?
- 5. Каковы корни многочлена -1 в поле из q элементов?
Задачи
- 1. Выпишите все элементы каждого из простых полей характеристики р < 10. Найдите аддитивный и мультипликативный порядок каждого элемента, убедитесь, что мультипликативные гркппы этих полей циклические.
- 2. Рассмотрите кольцо многочленов Z2[x] и в нем многочлен х2 + +х +1. Установите его неприводимость. Обозначив корень многочлена через а, выпишите элементы поля F=Z2(a). Убедитесь, что | (Z2(a))* | = = 3.
- 3. Докажите неприводимость над полем Z2 многочлена х3 + х +1. Обозначив его корень через а, выпишите все элементы поля Z2(a). Выясните строение мультипликативной группы этого поля. По аналогии постройте расширение Z3[(3], где Р — корень многочленах2 +1 6 Z3[x]. Опишите строение мультипликативной группы этого поля.
- 4. Рассмотрим поле F = Z2(a) из задачи 2, кольцо многочленов F[Z] и в нем многочлен z2 + ocz +1. Докажите, что он неприводим над полем F. Обозначив корень этого многочлена через Р, рассмотрите поле Fx = = F(P) = Z2(a)(P). Выпишите все его элементы и опишите мультипликативную группу этого поля. Докажите, что элемент у = оф имеет порядок 15 и порождает мультипликативную группу поля Fv Найдите минимальный многочлен этого элемента над полем Z2, базис расширения Fj = Z2(y) и представление всякого элемента поля в этом базисе. Для каждого элемента поля F, найдите его минимальный многочлен относительно поля Z2.
