*. Конечные тела

Предварительные сведения

Отказ от требования коммутативности умножения в определении поля порождает понятие, которое можно охарактеризовать как кольцо с делением. Однако прижился другой термин — тело.

Определение 4.15. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный элемент.

Таким образом, тело есть алгебраическая система (Г, +, •), где система (Т, +) является коммутативной группой, система (Т% •), где Т* = Т {0}, является группой (быть может, не коммутативной) и умножение дистрибутивно относительно сложения. Понятно, что коммутативное тело есть поле.

Существуют ли конечные некоммутативные тела? Оказывается, нет! Мы докажем этот удивительный результат, известит ный как теорема Веддербарна [3], следуя Витту [1]. Предварительно рассмотрим необходимый вспомогательный материал.

1. Напомним сведения из теории групп.

Пусть даны группа G и элемент ае G. Тогда класс элементов, сопряженных с элементом а, есть Ка = {g~1ag g е G}. Группа G распадается на непересекающиеся классы сопряженных элементов: G = (J Ка, Ка п Кь = 0 при Ка Ф Кь.

аеС

Центром группы G называется множество всех элементов, перестановочных с каждым элементом данной группы. Обозначается C(G).

Централизатором элемента а группы G называется множество всех элементов с е G, которые перестановочны с элементом а. Обозначается Сс(а). Таким образом, CG(a) = {с е G ас = = са}. В соответствии с теоремой 1.14 количество элементов, сопряженных с элементом а группы G, равно индексу централизатора этого элемента (числу смежных классов группы G по централизатору Сс(а)), т.е. |1Са| = |G : Сс(а) |.

2. Сведения из линейной алгебры.

Лемма 4.3. Если базис векторного пространства V над полем Р содержит п векторов, а поле Р содержит q элементов, то пространство V содержит qn векторов.

Доказательство. Пусть система векторов а2,..., ап} векторного пространства V над полем Р является базисом. Тогда для любого вектора b е V существует и единственный арифметический вектор (а1; а2, ..., а„) с компонентами из поля Р, такой что Ъ = o^aj + а2а2 + ... + а„ап. Поскольку каждая компонента арифметического вектора (а1; а2, ..., ап) может принимать q значений, то V содержит qn векторов.

3. Одно свойство делимости натуральных чисел.

Лемма 4.4. Пусть даны натуральные числа n,muq>l. Если qn - 1 делится на qm - 1, то п делится на т.

Доказательство. Разделим «наше остатком: n = ms + г, где s > 0, 0 < г < т. По условию,

Так как НОД(д"', qm - 1) = 1, то (qm(s-i)+r _ : (qm _ i) Повторяя эти рассуждения, приходим к выводу, что (qr - 1) : (q"‘ - 1), что возможно лишь в случае г-0. Следовательно, п : т. Лемма доказана.

4. Сведения о многочлене х" - 1.

Все корни многочлена х" - 1 образуют мультипликативную группу корней n-й степени из единицы. Из всех двучленов х - X, где X — корень n-й степени из единицы, имеющий порядок п в группе всех корней n-й степени из единицы, составим многочлен ср„(х)= П (х-Х).

порядок X равен п

Лемма 4.5. Многочлен ф„(х) имеет целые коэффициенты, причем его свободный член равен либо 1, либо -1.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по п. При n = 1 имеем фДх) = х - 1, и утверждение верно. Пусть оно верно для всех натуральных чисел, меньших п. В разложении многочлена хп - 1 на множители вида х-Х, где X — корень и-й степени из единицы, выделим множители, составляющие многочлен ф„(х), и обозначим через р(х) произведение остальных линейных множителей указанного вида, где порядок корня X меньше п. Тогда хп - 1 = фп(х) • р(х). Из индуктивного предположения вытекает, что коэффициенты многочлена р (х) являются целыми и его свободный член равен 1 или -1. Пусть Ф„(х) = а^х* + ак_гхк-1 + ... + аах + а0, р(х) = b„х™ + bm_1xm-1 + ... + + Ьах + Ь0. Поскольку b0= ± 1 и a0b0 = -1, то а0= ± 1. Далее, так как 0]Ьо + a0b! = 0 и числа а0, Ь0, Ъ1 целые, то а: целое. Пусть уже доказано, что коэффициенты а0, аь ..., а(_! целые для t < к. Поскольку atb0 + at_xbг + ... + а0Ъс = 0 и числа Ъ0, Ьь ..., bt целые, то и число at целое. Лемма доказана.

Лемма 4.6. Если п > 1, то для любого натурального числа q > 1 число q - 1 не делится на ф„(д).

Доказательство. Пусть Х = а + Ы. Тогда а2 + b2 = 1, а так как X Ф 1, то | а | < 1. Далее имеем:

откуда | q - X | > q - 1 > 1 для каждого сомножителя в произведении Ф„(д) = И (q-X). Следовательно, q - 1 не может

порядок X равен п

делиться на ф„^). Лемма доказана.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >