Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Для решения задач динамики используют одну из двух систем уравнений.

Уравнения в декартовой системе координат

Движение точки в декартовой системе координат задается уравнениями:

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная законы движения, определить действующую наточку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон движения. Следовательно, для решения задач динамики необходимо, используя второй закон динамики, связать координаты точки и действующие на них силы.

Пусть на материальную точку с массой т действуют силы Fl,F2,...,Fn. Точка движется в инерциальной системе отсчета 0т.

Основное уравнение динамики точки запишем в виде: та ='LFk и спроецируем обе части равенства на координатные осих, у и z- Учитывая, что

получим:

Или:

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в прямоугольных декартовых координатах.

Если точка движется в плоскости, то взяв координатные оси ох и оу в плоскости движения точки, получим вместо трех два дифференциальных уравнения:

Если точка совершает прямолинейное движение, то получим одно дифференциальное уравнение:

Уравнение (1.54) — дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.

Уравнения в проекциях на естественные оси координат

Для получения этих уравнений спроецируем обе части уравнения та = ЦРк на касательную, нормаль и бинормаль к траектории.

v dV у2 п

Учитывая, что а а„ =—; аь= 0, получим:

dt р

Уравнение (1.55), где V =~^ > представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в проекциях на естественные оси. Они были впервые получены Эйлером и носят название естественных уравнений движения материальной точки. С помощью этих уравнений многие задачи динамики точки, особенно такие, в которых известна ее траектория, решаются проще, чем при помощи уравнений в прямоугольных декартовых координатах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >