Моделирование непрерывных случайных величин

Моделирование непрерывных случайных величин осуществляется с помощью моделирующих формул или приемов, основанных на их связи со стандартными распределениями.

Моделирующие формулы

Моделирующие формулы представляют собой выражения для квантилей распределения ха, связывающие значение функции распределения F(xa) с вероятностью а. Напомним, что функция плотности /(х) и функ-

X

ция распределения /'(.г) связаны соотношением F(x) = J f(x)dx. Напомним

—©о

также типичный вид графика функции распределения (рис. 2.8).

Общий вид графика функции распределения

Рис. 2.8. Общий вид графика функции распределения

Процедура получения моделирующих формул основана на следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть а — случайная величина, имеющая стандартное равномерное распределение. Случайная величина удовлетворяющая уравнению F(q) = а, имеет плотность распределения f(x).

Из теоремы следует, что если возможно обращение функции F, то получить явное выражение для квантилей распределения можно по схеме

называемой преобразованием Смирнова[1], или обратным преобразованием. Явная формула для ха и есть моделирующая формула для случайной величины, имеющей функцию распределения F.

Покажем пример получения моделирующей формулы.

Пусть случайная величина ^ подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром Я > 0, имеющему функцию плотности

Тогда

В соответствии со схемой (2.6) реализации случайной величины ? могут быть получены из уравнения = а,, откуда получается моделирующая формула для экспоненциального распределения

Заметим, что в формуле (2.8) возможна замена 1 - а, на а,, в силу того что эти случайные величины распределены одинаково.

Приведем пример моделирования экспоненциального распределения с параметром X = 2,5 средствами MATLAB. Выборку объема п = 1000 получим с помощью моделирующей формулы (2.8), на график эмпирической функции плотности (гистограмму относительных частот) наложим график теоретической функции плотности (2.7) и вычислим основные числовые характеристики (рис. 2.9). Заметим, что для наложения графиков необходима именно гистограмма относительных частот, которая получается из гистограммы абсолютных частот с помощью масштабирующего множителя, зависящего от объема выборки и длины частичного интервала, используемого при построении гистограммы.

Результат моделирования случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром X = 2,5, с использованием

Рис. 2.9. Результат моделирования случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром X = 2,5, с использованием

моделирующей формулы

% Моделирование экспоненциального распределения, % моделирующая формула 1 = 2.5; п = 1000;

X = rand (1, п);

X = -log(1 - X)/1; xi = 0:0.1:max(X); yi = 1 * exp(-l * xi);

[Z,W] = hist(X, 25); h = min(diff(W)); bar(W,Z/n/h) hold on

plotfxi, yi, 'r');grid

title(sprintf('mean(X) = %g, std(X) = %g', round([mean(X) std(X)] * Ie3)/le3))

  • [1] Николай Васильевич Смирнов (1900—1966) — советский математик, один из создателей непараметрических методов математической статистики и теории предельных распределений порядковых статистик, автор многих таблиц математической статистики.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >