ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ

На практике часто приходится решать задачи, связанные с последовательными испытаниями (опытами), в каждом из которых может произойти любое из событий Ах> Л2,As, составляющих полную группу событий. Результат каждого испытания может как зависеть от событий, которые произошли до него, так и не зависеть от места в последовательности испытаний. Ниже мы рассмотрим эти случаи на примерах схемы Бернулли, полиномиальной схемы и цепей Маркова.

2.1. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли

Предположим, что проводятся последовательные испытания, осуществляющиеся в одних и тех же условиях, в результате каждого из которых может появиться или не появиться некоторое событие Л. При этом появление события А в очередном испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний. Таким образом, последовательность испытаний представляет собой независимые события. Представляет интерес общее число появлений события А в результате определенного числа испытаний. Понятие независимости позволяет дать аналитическую формулировку наглядного представления об опытах, повторяющихся многократно при неизменных условиях.

Определение 2.1. Повторяющиеся независимые испытания называют испытаниями Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Такая вероятностная модель последовательных испытаний носит название схемы Бернулли.

Пример 2.1. Наиболее простой пример — многократное подбрасывание симметричной монеты. Результат очередного подбрасывания не зависит от того, что выпало ранее. Вероятности исходов равны 1/2.

Итак, предположим, что в каждом независимом испытании возможны только два исхода: появление события А или нет. Обычно эти исходы называют успехом и неудачей. Успех и неудачу для краткости будем обозначать У и Н или 1 и 0. Далее предположим, что мы проводим п независимых опытов. Тогда ?2 = {со,- |w, =(х12,...,хи),ху е{0,п).

Обозначим через р число У в гг независимых испытаниях. Оно, очевидно, равно числу единиц в цепочке со,- = (xvх2,.:,хп), т.е. равно сумме |Д = хх 2 +... + хп. ПустьР(У)=р, aP(ll) = q. Ясно, чтор >0,q>0up + q = i. Из независимости испытаний следует, что

Теорема 2.1. Пусть р — число успехов в п испытаниях Бернулли (ИБ) с Р(У) =р и Р(Н) = q, тогда

Доказательство. Событие Вк = {р = &} определяется как подмножество Q:

Следовательно,

так как согласно формуле (2.1) элементарные вероятности р(со,) = pkqn~k для Vco, е Вк.

Число элементарных исходов, входящих в Вк, совпадает, очевидно, с числом способов выбора k неупорядоченных мест для единиц в цепочке со, так как оставшиеся места однозначно заполняются нулями, т.е. равно С*. Таким образом, окончательно получаем

Формула (2.2) носит название формулы Бернулли.

Замечание 2.1. Из формулы (2.2) следует, что вероятность не иметь ни одного успеха равна Pn(0) = qn, а иметь хотя бы один успех Рп(ц>1) = 1-^я.

Замечание 2.2. Поскольку множество {0,1, 2,..., п) число появлений успехов в испытаниях Бернулли — составляет полную группу, то

Замечание 23. Если в задаче встречаются слова «хотя бы», «не менее», «не более», то часто следует вначале найти вероятность противоположного события.

Пример 2.2. Монета брошена 10 раз. Найдем вероятность того, что «герб» появится 7 раз.

Решение. В данном случае Следовательно,

Пример 2.3. 30% изделий некоторого предприятия — это продукция высшего сорта. Потребитель приобрел шесть изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что половина из них высшего сорта?

Решение. Пусть событие А = {3 изделия из 6 высшего сорта}. Приобретение шести изделий можно считать последовательностью независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: приобретение изделия высшего сорта или нет. При этом если за успех мы примем У = {приобретение изделия высшего сорта}, то р = = Р(У) = 0,3, и эта вероятность остается неизменной. Поэтому для решения данной задачи мы можем применить формулу Бернулли. Событие А равносильно тому, что в шести испытаниях три раза будет успех, поэтому Р(Л) = Р6{р = 3} = С| 0,33 -0,73 *

« 0,185.

Пример 2.4. Вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний событие А наступит хотя бы один раз, равна 0,7. Определим вероятность наступления события А в одном испытании, если она во всех испытаниях остается неизменной.

Решение. Если за успех принять наступление события А, то в данной задаче, очевидно, требуется найти вероятность успеха р = Р(А). По условию задачи Р4{р > > 1} = 0,7, следовательно, {р < 1} = Р4 {р = 0} = 1 - 0,7 = 0,3. Но Р4 {р = 0} = С%p^q* = qA.

Таким образом, qA = 0,3, откуда . Окончательно получаем

При увеличении числа У от 0 до п вероятности Pn(k) сначала возрастают, достигая наибольшего значения при некотором &*, а затем убывают.

Определение 2.2. Значение k*> при котором Pn(k) принимает наибольшее значение, называют наивероятнейшим числом успехов.

Итак, пусть при некотором k* Pn(k*) = maxPn(k)y тогда, очевидно,

т.е. получаем соотношение

Замечание 2.4. Из соотношения (2.3) следует, что наивероятнейших значений может быть два, если пр - q пр + р — целые числа.

Пример 2.5. Независимо испытывают 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна р = 0,9. Найдем наивсро- ятнейшее число элементов, выдержавших испытание.

Решение. Имеем п = 15; р = 0,9; q = 0,1. Следовательно, по соотношению (2.3)

Пример 2.6. Игральную кость бросают пять раз. Найдем вероятность того, что шестерка появится не менее двух раз. Найдем наивсроятнейшее число выпадений шестерки и вероятность данного числа выпадений.

Решение. Эксперимент представляет собой повторные, независимые испытания, однако в каждом испытании возможны шесть исходов. Если за успех мы примем У = {выпадение шестерки при одном бросании кости}, а за неудачу — II = {выпадение при одном бросании кости любого числа очков, кроме 6}, то тогда можно считать, что в каждом испытании возможны только два исхода. Вероятности этих

исходов и они не изменяются от испытания к испытанию. Событие А = {шестерка появится не менее двух раз} означает, что число успехов р в 5 испытаний должно быть не менее двух, т.е.

Тогда

и каждое слагаемое суммы находим по формуле Бернулли. Но в данном случае воспользуемся замечанием 2.3 о том, что часто удобнее вначале найти вероятность противоположного события:

Следовательно, Р(А) = 1 - 0,8 = 0,2.

Найдем наивероятнейшее число выпадений шестерки: или

0 <&* < 1.

Таким образом, таких чисел два — k = 0, k2 = 1. Найдем вероятности этих значений:

Действительно, получили два наивероятнейших значения с одинаковой вероятностью.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >