ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В этой главе дается понятие случайного процесса, определяются основные случайные процессы, рассматриваются их общие свойства. Случайные процессы являются моделями многих реальных процессов. Мы рассмотрим вопрос о применении случайных процессов в теории массового обслуживания, модели которой в последнее время находят все более широкое применение в экономике.

6.1. Определение случайного процесса и его характеристики

В практике экономических исследований приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые в процессе одного наблюдения изменяются случайным образом с течением времени. Такие случайные величины принято называть случайными (стохастическими) процессами (СП). Так, например, СП являются температура воздуха в определенной точке пространства, число бактерий в популяции в момент времени t, уровень воды в водохранилище и т.п. Различные производственные процессы, как и вся экономика в целом, также представляют собой СП. Дадим определение СП.

Определение 6.1. Пусть Q — ПЭИ, Т — некоторое числовое множество. Действительная функция ?(Г) = f(t, со), определенная при t е Г, со е Q, называется случайным процессом, если при каждом фиксированном f0 е Т f(t0, со) как функция со е Q является случайной величиной.

В частности, обычную случайную величину Е, можно рассматривать как СП, если определить Т как одноэлементное множество (Т = {?0}) и положить 5(^

Определение 6.2. Если Т— счетное множество, то ?(/:), t е Т, называется СП с дискретным временем, или случайной последовательностью, или цепью.

В случае, когда Т конечно, определение СП равносильно определению многомерной случайной величины. Действительно, пусть Т = {t1,t2,—,tn}. Тогда можно положить = ?(ГД i = 1, 2,..., п. И теперь безразлично, что задавать, случайные величины (^, i;2> •••> ^„) или функцию ?,(t), tG{ti,t2,—,tn).

Определение 6.3. Если Т — некоторый интервал, конечный или бесконечный, то СП ?,(/), t е Т, называется СП с непрерывным временем.

Итак, СП — функция двух переменных — I и со.

Определение 6.4. Если фиксировать со = со0, то /(?, оо0), рассматриваемая как функция t, t е Т, называется реализацией, или траекторией СП ?,(/).

Если же фиксировано t = t{), то СВ ?,н = q(?0) называется сечением СП в точке ?0

В каждом сечении tk распределение вероятностей СП задается одномерной функцией распределения F(tk, х) = P{L,(tk) Однако F(tk, х) не дает исчерпывающую вероятностную характеристику СП %(t) при разных tk (т.с. в различных сечениях СП).

Более полно вероятностные свойства СП описывает и-мерная функция распределения — функция распределения случайного вектора (X(t{), ..., ?,(?„)), для п сечений СП

Если функция (6.1) достаточное число раз дифференцируема, то п-мер- иая совместная плотность вероятности СП ?,(/;) имеет вид

Функция распределения (6.1) или плотность вероятности (6.2) учитывает связь хотя и между любыми, но лишь фиксированными сечениями СП. СП считается заданным, если задано множество всех его и-мерных законов распределения для любого п. При этом функция распределения должна удовлетворять условиям симметрии и согласованности Колмогорова.

Условие симметрии состоит в том, что F() — симметричная функция для всех пар (х„, /:„) в том смысле, что, например, Е(х1,..., х„; ?,,..., ?„) = F(x2, Х|,..., хп, t2, ?j,..., ?„).

Условие согласованности означает, что

т.е. n-мерный закон распределения СП ?,(/) определяет все законы распределения более низкой размерности.

Практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков.

Определение 6.5. СП считается заданным, если для любого набора ?, < 2 < ... < tn, tj е Т, указано многомерное распределение F(x1(..., х„; ?,,..., ?„) = = Р{^(?1)<х1,...,^(?„)<х„}, причем эти распределения согласованы между

собой.

Определение 6.6. СП L(t) называется процессом с независимыми значениями, если для любого набора tb t2, ..., tn, t, e T, случайные величины %(?,),..., ^(?„) независимы.

Определение 6.7. Математическим ожиданием СП с(?) называется неслучайная функция m(t) = М( <;(/:)), значения которой при фиксированных значениях I = ?(, равны математическому ожиданию случайной величины ?,(?0).

Для непрерывного случая где р(х, t) — одномерная плотность вероятностей СП.

Геометрически математическому ожиданию соответствует некоторая кривая, около которой группируются траектории СП.

Определение 6.8. Дисперсией СП <^(t) называется неслучайная функция а2(0 = D(&t)) = МШ) - m(t)]2> значение которой при фиксированном t = t0 равно дисперсии случайной величины %(?0).

Дисперсия СП характеризует степень разброса траекторий относительно его среднего значения m(t) (рис. 6.1).

График разброса траекторий СП относительно его среднего

Рис. 6.1. График разброса траекторий СП относительно его среднего

значения

Определение 6.9. Корреляционной (автокорреляционной) функцией

называется неслучайная функция K(s, t) = cov(?,(.v), ?,(?)) = M[(^(s) - m(s)) x x (^(t) - m(t))] = M[?(s) • ?(t)] - m(s)m(t), значение которой при фиксированных s = Sq и t = t0 равно ковариации случайных величин ?(s0) и %(?0).

Очевидно, что при s = t K(t, t) = ci2(t).

Корреляционная функция K(s, t) характеризует степень связи между ординатами СП ?(t) для двух моментов времени s и t. При этом чем больше K(s, t), тем более плавными являются траектории СП ^(?), и наоборот.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами'.

  • 1) симметричность: K(s, t) = K(t, s);
  • 2) K(t,1)> 0 для V t.

Эти свойства следуют из соответствующих свойств ковариации случайных величин.

Теория, изучающая СП на основе знания математического ожидания и корреляционной функции, называется корреляционной теорией.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >