6.2. Стационарные случайные процессы

В математических моделях, описывающих различные случайные явления в физике, геофизике, экономике, медицине, наиболее важными СП являются так называемые стационарные процессы. Различают стационарные случайные процессы в узком и широком смысле.

Определение 6.10. СП i;(?), t е Г, называется стационарным в узком смысле, если совместные распределения случайных величин {?(*! +й),?(?2 +й), +/?)} и {?(*1 ),...> ?(?„)} идентичны и не зависят от А,

т.е. не зависят от сдвига но времени:

Определение 6.11. СП t е Г, называется стационарным в широком смысле, если математическое ожидание и дисперсия Difft))

не зависят от t (т.е. являются постоянными), а корреляционная функция случайных величин ift + и) и ift) зависит только от и , т.е.

Стационарные в узком смысле СП являются стационарными и в широком смысле.

Действительно, для стационарных в узком смысле СП ?;(?) согласно равенству f(x, t + h)= f{pc) при h=-t имеем f(x> t) = f(x, 0) = f(x), где f(x) — одномерная плотность вероятности. Отсюда

Аналогично для двумерной плотности вероятностей из равенства f(xv х2; tx + h, t2 + К) = f(x]|, х2; tv t2) при h = -t{ получим f(xx, x2; tu t2) =

=/(* 1, *2> °> h-f) =f(xv хъ Ч~г)-

Отсюда для корреляционной функции будем иметь

Таким образом, для стационарного в узком смысле СП математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, корреляционная функция зависит только от разности аргументов, следовательно, СП является стационарным в широком смысле.

Обратное утверждение в общем случае неверно.

Корреляционная функция стационарного СП обладает следующими свойствами:

  • 1) K(-t) = K(t), т.е. K(t) — четная функция;
  • 2) имеет место неравенство K(t) < К(0);
  • 3) для дисперсии стационарного СП ift) справедливо соотношение D(ift)) = ^(0) = const.

Определение 6.12. Величина называется временем корре

ляции.

Время корреляции т дает приближенное представление о том, на каких интервалах времени имеется корреляция между значениями (сечениями) СП.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >