6.5. Процесс размножения и гибели
Процессом размножения и гибели называется марковский процесс с непрерывным временем и с X = {0, 1, 2, ...}, в котором из любого состояния п возможен лишь непосредственный переход в состояния (п - 1) и (п + 1), а из состояния 0 — в состояние 1. Состояние процесса интерпретируется как число особей некоторой популяции. Переход из (п) в (п + 1) означает рождение новой особи, а переход из (п) в (п - 1) — гибель некоторой особи. Переход из 0 в 1 — самозарождение.
Будем предполагать, что все состояния марковского процесса регулярны. Для сокращения записи обозначим Х„ „+1 = Х„,Х„ n_t = р„ тогда
Если все р„ = 0, то говорят о чистом процессе размножения, а если все Хп = 0 — то о чистом процессе гибели.
Процесс размножения и гибели (ПРГ) эргодичен, если расходится ряд
и сходится ряд
При этом существует единственное
стационарное распределение, совпадающее с эргодическим распределением.
Эти условия выполняются, например, если существуют некоторое состояние N и некоторое число 0 < у < 1 такие, что
для /i>N.
Система уравнений равновесия для ПРГ имеет вид
Введем обозначение zk = -'Ккрк + Ц*+Рк+> k = 0, 1, 2,....
Тогда система (6.13) примет вид
Отсюда Zj = 0 для V/ = 0,1,2,.... Следовательно,
Поскольку {Р,} является распределением вероятностей, то
откуда
Таким образом, получили стационарное распределение для процесса размножения и гибели.
