СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

8.1. Точечные оценки неизвестных параметров распределения

Пусть у нас имеется выборка (xlt х2,..., хп) из ГС, распределение которой зависит от неизвестного параметра 0.

Определение 8.1. Точечной оценкой параметра 0 называется статистика 0„ =0(х1,...,х„), значение которой, при заданной реализации выборки, принимают за приближенное значение параметра 0.

Ясно, что для оценивания 0 можно использовать различные оценки, и чтобы выбрать лучшую из них, надо иметь критерии сравнения качества оценок.

А

Определение 8.2. Оценка 0„ неизвестного параметра 0 называется несмещенной, если М0„ =0.

А

Определение 8.3. Оценка 0„ неизвестного параметра 0 называется состоятельной,, если

А

Определение 8.4. Оценка 0* неизвестного параметра 0 называется эффективной, если она оптимальна в среднеквадратическом смысле, т.е. имеет минимальное среди всех возможных оценок параметра 0

(т.е. если 0 — любая другая оценка, то

Если эффективная оценка ищетсясреди несмещенных оценок, то, так как М0И =0, имеем г.е. эффективная

оценка — оценка с наименьшей дисперсией.

Ранее мы говорили, что выборочные характеристики используются в качестве оценок теоретических характеристик. Выясним, насколько хороши эти оценки, исходя из критериев, которые мы определили выше.

Пусть хп выборка из ГС с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией ст2. В качестве оценки а возьмем

Так как

то х — несмещенная оценка. Так как xv ..., хп — независимые, одинаково распределенные СВ с конечным математическим ожиданием а, то по следствию из закона больших чисел в форме Чебышева т.е.

х — состоятельная оценка.

Вопрос об эффективности оценки решается при наличии дополнительной информации — знания закона распределения ГС. Если ГС имеет нормальное распределение, то х — эффективная оценка. Если же ГС имеет равномерное распределение, то оценка х не является эффективной. Например, можно взять величинукоторая будет более эффективной.

В качестве оценки о2 возьмем выборочную дисперсию

Выясним вопрос о несмещенности данной оценки, для чего подсчитаем ее математическое ожидание:

Так как то

С одной стороны,

с другой — откуда

Подставляя выражения (8.2) и (8.3) в формулу (8.1), получим

Следовательно, S2 — смещенная оценка для а2. Но если и можно использовать эту оценку.

Рассмотрим новую оценку Очевидно, что

Следовательно, S2 несмещенная оценка.

Выясним состоятельность S2 как оценки. Рассмотрим последовательность СВ Эти СВ независимы, одинаково распределены и

т.е. имеют конечные математические ожидания. По следствию из закона больших чисел в форме Чебышева . Мы

уже показывали, что ., значит, по свойствам сходимости по вероятпости , т.е. S2 — состоятельная оценка для а2.

Так как , то по свойствам сходимости по вероятности

, т.е. S2 также состоятельная оценка.

Очевидно, что ЭФР Fn(x) можно рассматривать как оценку теоретической ФР F^(x) ГС, из которой извлечена выборка хп). Выясним качество этой оценки. Рассмотрим испытания Бернулли, связанные с нашей выборкой, и за успех примем событие У = {xt <х}. Тогда Р(У) = Р{х1 Обозначим через ц(х) число успехов в испытаниях Бернулли, тогда

Таким образом, Fn(x) — несмещенная оценка F^(x).

По закону больших чисел в форме Бернулли Следовательно,

Таким образом, Fn(x) — состоятельная оценка для F^(x).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >