Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Посмотреть оригинал

8.3.1. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Пусть имеется выборка из ГС, распределенная нормально с параметрами N(a, ст2). Построим доверительные интервалы для а и ст2.

Доверительный интервал для математического ожидания А, при известной генеральнойдисперсии

В качестве точечной оценки а возьмем Поскольку xt ~ N(a, ст2),

то по следствию из леммы Фишера откуда

Тогда за статистику Z мы возьмем

Ее распределение известно и не зависит от а. Выбирая уровень значимости а, найдем такое значение Ua, что P{|Z|a} = l-a, или

откуда

Таким образом, мы нашли интервал который будет доверительным интервалом для а, отвечающим доверительной вероятности у = 1 - а.

Так как Z ~ N{ 0,1), то P{a} =(Ua) -1, где Ф(.г) — функция стандартного нормального распределения. Но P{|Z|<[/a} = l-ot. Значит,

2Ф(На)-1 = 1-а, откуда т.е. Ua может быть найдено по таблице стандартного нормального распределения как значение аргумента, отвечающего значению функции

Доверительный интервал для математического ожидания а при известной генеральной дисперсии ст2

Так как ст2 неизвестна, то статистику (8.7) уже нельзя непосредственно использовать для построения доверительного интервала для а. Однако

из леммы о распределении Стыодента следует, что СВ представляет собой отношение Стыодента; при этом распределение Стьюдента не зависит от а. Следовательно, в качестве статистики Z можно взять статистику , которая имеет распределение Стьюдента с (п — 1) степенью свободы.

Выбирая уровень значимости а, найдем такое значение ta, что или

откуда

Таким образом, мы нашли интервал который является доверительным интервалом для а с надежностью у = 1-а.

Так как Z = tn_b то P{ a} = 2Sn_x(ta)-, где ?„_!(*) — функция распределения Стьюдента с (п - 1) степенью свободы. Тогда25’„_1(/а)-1 = 1-а, откуда т.е. ta находится как аргумент функции распределения Стыодента, отвечающий значению функции

Замечание 8.4. Значение ta может быть найдено также как критическая точка распределения Стыодента, отвечающая уровню значимости , т.е.

Действительно,

Доверительный интервал для ст2 при неизвестном математическом

ожидании а

В этом случае в качестве оценки а2 следует взять S2. По следствию из леммы Фишера Поэтому в качестве статистики Z мы можем взять , которая будет иметь распределение х2 с (п - 1)

степенью свободы. Однако распределение %2 не является симметричным, поэтому для заданного уровня значимости а бесконечным числом способов можно построить интервал, который отвечал бы доверительной вероятности у = 1 — а. Обычно выбирают два значения Х и xi так, чтобы

Тогда

В то же время

Следовательно, мы построили интервал который

является доверительным интервалом для а2, отвечающим доверительной вероятности у = 1 - а. Значения xj и х| могут быть найдены по таблице рас- пределения х2 с (п ~ 1) степенью свободы как аргументы, отвечающие соответственно значениям ^ и 1-— функции распределения х2 с (п - 1) степенью свободы, или как критические точки распределения х2> при этом

Замечание 85. Если генеральная средняя а известна, то при построении доверительного интервала для а2 в качестве оценки следует брать

Пример 8.4. Получены следующие данные о размере мужской обуви, проданной магазином в течение дня:

Размер обуви

37

38

39

40

41

42

43

44

Итого

Количествово проданных пар (п)

1

4

14

37

35

20

8

3

122

Предполагается, что размер обуви мужчины имеет нормальное распределение с параметрами N(a, о2). Найдем доверительные интервалы для а и ст2.

Решение. Вычислим х, S2, S:

Доверительный интервал для а при неизвестной дисперсии найдем по формуле

Выберем а = 0,05, тогдаПо таблице распределения Стыо-

дента находим ta = 1,9798.

Подставляя все найденные значения, получим доверительный интервал для а: (40,467; 40,943).

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном а найдем по формуле

Выбирая а = 0,05 и учитывая, чтоокончательно получим

интервал (1,39; 2,31).

8.3.2. Доверительные интервалы в случае асимптотически нормальных оценок

При построении доверительных интервалов для а и а2 мы предполагали, что выборка взята из ГС, распределенной нормально. Пусть теперь (Xj,..., хп) — произвольная выборка. При больших п можно построить приближенные доверительные интервалы без предположения нормальности хк. Найдем, например, доверительный интервал для параметра а = Мхк.

Пусть с2 = Dxk, тогда по центральной предельной теореме распределение величины будет асимптотически стандартным нормальным. Отсюда, используя состоятельность оценки S'2 для а2, можно показать, что

Следовательно,

где Ua находят по таблице нормального распределения.

Аналогично с помощью ЦПТ показывается, что

где та — выборочная доля; р — генеральная доля;

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы