ОСНОВНЫЕ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЮ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основные понятия о центре тяжести тел

Любое тело можно представить как совокупность множества материальных точек. В каждой точке действует элементарная сила тяжести — Gr Векторы всех сил G, параллельны, а их равнодействующая равна силе тяжести всего тела G = ^G,- (рис. 5.1).

Тело как совокупность множества материальных точек

Рис. 5.1. Тело как совокупность множества материальных точек

Точка 5 приложения равнодействующей силы, т.е. силы тяжести тела называется центром тяжести тела. Положение 5 точки относительно выбранных координат (координаты центра тяжести тела) легко определяются из уравнений статики. Для определения координат точки 5, куда приложена равнодействующая параллельных сил, используем уравнение статики 2Ж = о. Подставляя в это уравнение значения моментов сил, получаем

откуда

Аналогично для сил действующих параллельно оси 0у

Соответственно

Если центр тяжести S является началом координат, то xs = 0, ys = 0, zs = 0. В этом случае вращение тела вокруг любой оси, проходящей через точку S, наиболее устойчиво.

Следствие: поступательное движение тела можно рассматривать как поступательное движение материальной точки — центра тяжести.

Для тел, объемы и площади сечения которых могут быть получены вращением, соответственно, площади (для получения объема) или какой-либо кривой (для получения площади фигуры) центры тяжести более просто определяются на основании следующих формул Гюльдена (их доказательства даны в дополнительной литературе)

где W — объем тела вращения, полученного вращением площади F вокруг оси симметрии.

Центр тяжести дуги

где L — длина дуги; F— площадь поверхности вращения полученной вращением этой дуги вокруг оси.

Покажем несколько примеров определения центров тяжести тел. Пример: определение центров тяжести площади и дуги. 11еобходимо найти центры тяжести площади и дуги полуокружности радиусом R (рис. 5.2).

Центры тяжести простейших фигур

Рис. 5.2. Центры тяжести простейших фигур

Площадь полуокружности /’= nR2/21 объем шара, полученного вращением этой площади, Тогда центр тяжести площади имеет координату Соответственно, центр тяжести дуги Л В имеет

координату при длине дуги L = nR и площади поверхности шара F = 4кК2 (полученной при вращении дуги ЛВ вокруг пунктирной оси)

Справка 4: о центрах тяжести (ЦТ) простейших фигур

Для окружности ЦТ совпадает с центром симметрии фигуры, для четырехугольника — ЦТ находится на пересечении диагоналей; для треугольника — ЦТ находится на пересечении медиан (медиана — прямая, проведенная из угла треугольника и делящая противоположную сторону пополам); ЦТ кругового сегмента (рис. 5.2, 6) имеет координату

Пример: определение центров тяжести составной фигуры. Найти I (Т сечения фигуры, образованной двумя прямоугольниками и полуокружностью (рис. 5.3).

Составная фигура

Рис. 53- Составная фигура: два прямоугольника и полуокружность

Координаты центров тяжести отдельных фигур равны

где центр тяжести полуокружности взят из предыдущего примера.

По формулам (4.3) и (5.1), учитывая, что толщина плоских тел одинакова, координаты сечения

где Fj площади элементарных фигур. Подставив значения F, = h{lv F2 = = 2Ш2, F3 = nlF/2, получим

Формулы (5.6) используются для определения координат ЦТ плоских тел (тел, сечения которых в плоскости хОу не изменяются при их перемещении вдоль оси Oz).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >