МЕТОД МОРА. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Потенциальная энергия при произвольной нагрузке

При решении ряда задач по изгибу балок удобно использовать метод Мора. Для получения интеграла Мора потребуются зависимости для потенциальной энергии при произвольной нагрузке на механические системы, которые показаны ниже.

Потенциальная энергия деформации упругой системы, находящейся под действием произвольной нагрузки (рис. 17.1), может быть вычислена различными способами:

  • 1) как работа внешних сил;
  • 2) как работа внутренних силовых факторов;
  • 3) как интеграл по объему от удельной энергии деформации.
Нагружение рамы

Рис. 17.1. Нагружение рамы

Предположим, что все нагрузки прикладываются одновременно.

Вычислим работу, совершенную силой Р. В общем случае перемещение точки приложения этой силы Ьк = KKV под действием всех нагрузок не совпадает с направлением силы. Спроектировав перемещение дк на направление силы, получим перемещение 8Ю в направлении силы. В процессе нагружения сила Р, совершает работу на перемещении 5Ki

Множитель 0,5 введен в связи с тем, что сила и перемещения при нагружении возрастают пропорционально. Суммируя работы, совершенные всеми силами, получим потенциальную энергию деформации системы

Формула (17.1) известна под названием формулы Клапейрона. Если кроме сил Pv ..., Рп на систему действуют сосредоточенные моменты и распределенные нагрузки, то формулу (17.1) надо дополнить слагаемыми вида

где <р. — угол поворота сечения в точке приложения момента в плоскости действия этого момента; 1К длина участка, на котором действует распределенная нагрузка.

В механике деформируемых тел важное значение имеет принцип взаимности работ. Поясним этот принцип на примере балки, изображенной на рис. 17.2. В состоянии I балка нагружена силой Р,, приложенной в точке 1, а в состоянии II — силой Р2, приложенной в точке 2; в состоянии III обе силы приложены одновременно.

Разный тип нагружения консольно закрепленной балки

Рис. 17.2. Разный тип нагружения консольно закрепленной балки

Запишем выражения энергии деформации в состояниях I и II

Согласно принципу независимости перемещения от сил Р, и Р2 суммируются алгебраически, однако энергия деформации при совместном действии сил не равна сумме энергий в состояниях I и II. Действительно, если приложить вначале силу Pv а затем добавить силу Р2, то энергия деформации будет равна

Последнее слагаемое в (17.2) учитывает дополнительную работу силы Р, на перемещении 821, вызванной силой Р2. Это слагаемое не содержит двойки в знаменателе, так как на перемещении 521 сила Р, остается постоянной. При нагружении системы в обратном порядке, т.е. вначале силой Р2, а затем Pj получим аналогичное выражение

Так как анергия U:i не зависит от порядка нагружения, то правые части равенств (17.2) и (17.3) можно приравнять

Отсюда после сокращений получим

Это равенство выражает принцип взаимности работ — работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния.

Из принципа взаимности работ следует принцип взаимности перемещений, согласно которому перемещение точки 1 от силы Р, приложенной в точке 2, равно перемещению точки 2 от силы Р, приложенной в точке 1. Действительно, приняв Р, = Р2 из равенства (17.4), имеем

Выведем выражение энергии деформации через работу внутренних силовых факторов. В общем случае нагружения в поперечном сечении бруса возникают шесть силовых факторов (рис. 17.3). Выделим бесконечно малый элемент бруса длиной dz и рассмотрим действие каждого силового фактора в отдельности.

Силовые факторы в общем случае нагружения бруса

Рис. 173. Силовые факторы в общем случае нагружения бруса

При действии нормальной силы N (см. рис. 17.3, б) элемент получает удлинение

и в нем накапливается энергия

При действии крутящего момента МК|)(см. рис. 17.3, в) элемент бруса закручивается на угол . При этом момент совершает работу

Следовательно, энергия деформации равна

При действии изгибающего момента Мг(см. рис. 17.3, г) элемент бруса искривляется (см. рис. 17.3, д). Согласно зависимости (16.23) кривизна равна

Так как длина средней линии dz не изменяется, то взаимный угол поворота сечений

На этом угловом перемещении момент Мх совершает работу

Следовательно, энергия деформации при изгибе под действием момента определится выражением

При изгибе в другой главной плоскости под действием момента Mf) (см. рис. 17.3, е) но аналогии можно записать

При действии поперечных сил О и Qx (см. рис. 17.3, а, з) возникает деформация сдвига. При этом в элементе бруса также накапливается энергия, однако более детальный анализ показывает, что при обычных для бруса соотношениях между длиной и размерами поперечного сечения (/ h) энергия деформации сдвига мала и ею можно пренебречь.

Так как каждый силовой фактор совершает работу только на своем перемещении и не работает на перемещениях от других факторов, энергия деформации при совместном действии всех факторов будет равна сумме энергий, определяемых выражениями (17.6)—(17.9)

Полная потенциальная энергия деформации рассматриваемого бруса где k — число участков.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >