Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Посмотреть оригинал

Метод деления отрезка пополам

Рассмотрим простой, но надежный метод для вычисления корней. Пусть некоторый отрезок [a, b] = I содержит единственный корень. Стратегия этого метода состоит в том, что мы делим интервал I пополам и затем оставляем только половину этого интервала, содержащую корень. Очевидно, что половина, на которой функция f(x) меняет знак, содержит корень. Это дает нам способ определить, какую половину оставить и затем использовать для дальнейших вычислений. Метод деления отрезка пополам можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 2.2.

Таким образом, на каждом шаге вычислительного процесса х* лежит внутри интервала [ak, bk —> а^у b^), и как только длина этого интервала становится меньше чем гр, итерационный процесс завершается. В этом методе используется минимальная информация о функции f(x) (знак f(x)). Поэтому требуется относительно большое число итераций, но сходимость этого метода гарантирована.

Блок-схема, представляющая метод деления отрезка пополам

Рис. 2.2. Блок-схема, представляющая метод деления отрезка пополам

Оценим количество итераций, необходимых для вычисления корня. Легко видеть, что длина интервала [аb уменьшается в два раза на каждом шаге итерационного процесса. Вычисления завершаются, когда

Для оценки числа итераций k выберем знак « = », тогда

где [у] означает целую часть у. Например, если b - а = 1 и гр= 10-5, мы получим k = 17.

Пример 2.1 (метод деления отрезка пополам) Результаты расчетов представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

к

хк

Ъкк

1

0.5

5.00000е—01

2

0.75

2.50000с—01

3

0.625

1.25000е-01

4

0.5625

6.25000е-02

17

0.58854

7.62939е-06

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы