ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Список обозначений

и(х)

Точное решение дифференциального уравнения

= и(х„)

Точное решение дифференциального уравнения в точке хп

и(«)

ип

Приближенное решение дифференциального уравнения в точке хп

*п ип ип

Абсолютная ошибка приближенного решения в точке хп

h

Шаг разностной сетки

Du

Дифференциальный оператор

D„ u

Конечно-разностный оператор

8f<")

Невязка

R

Оператор перехода

F(x, u)

Матрица Якоби

*»(A)

т-е собственное значение матрицы А

?P

Требуемая точность вычисления

Математические модели различных физических явлений часто формулируются в виде дифференциальных уравнений, и изучение таких моделей требует решения этих уравнений. В некоторых случаях их решение может быть выражено через известные функции. Однако, как правило, это невозможно, поэтому получение решения в виде явных выражений нельзя рассматривать как стандартный метод решения дифференциальных уравнений. Нельзя сказать, что аналитические методы потеряли свое значение. Они остаются необходимым инструментом для решения упрощенных, так называемых, модельных задач. Исследование модельных задач позволяет получить важную информацию о решении более сложных задач.

Наряду с аналитическими методами широко используются различные численные методы для решения дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим методы, основанные на конечных разностях. Основная идея этих методов состоит в том, что приближенное решение определяется на некотором множестве точек, обычно называемом сеткой. Для вычисления этого приближенного решения используются алгебраические уравнения, которые приближают и заменяют дифференциальное уравнение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >