4.2. Применение метода локального потенциала для решения нестационарных задач

Рассмотрим пластину, на концах которой поддерживается постоянная температура, скажем, равная 0. Предположим, что начальное распределение температуры задано в виде Т( 1 — хг), где Т — постоянная. Если физические свойства пластины не зависят от температуры, то процесс распространения (охлаждения) тепла описывается дифференциальным уравнением

с начальными условиями и граничными условиями

Задачу (4.146) —(4.148) можно решить с применением метода временного локального потенциала [1]. Показано, что функционал

стационарен, если только уравнение (4.146) удовлетворяется и выполняется условие 7(/, х)—Т0(/, х).

Представим решение в виде

тде /(0) = 1. Аналогично истинное решение имеет вид

Подставив выражения (4.150) и (4.151) в интеграл (4.149), получим

Решение

х/ =

0,01

х/ =

= 0,1

х/ = 1

аналитическое

приближенное

аналитическое

приближенное

аналитическое

приближенное

* = 0,0

0,968

0,975

0,792

0,779

0,0350

0,0820

0,2

0,927

0,936

0,755

0,747

0,0823

0,0787

0,4

0,804

0,819

0,640

0,654

0,0696

0,689

0,6

0,612

0,624

0,472

0,498

0,0509

0,0525

0,8

0,336

0,355

0,249

0,280

0,0267

0,0295

1

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

Функция /(/) должна быть выбрана таким образом, чтобы интеграл был стационарен, т. е.

Полагая

и интегрируя уравнение (4.153), получаем

где А = const. Так как / (0) = 1, то

В табл.. 4.5 это приближенное решение сравнивается с точным решением [6] задачи для одномерного теплового потока. Видно, что приближенное решение находится в хорошем согласии с точным решением. Точное решение имеет вид [6]

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >