4.2. Применение метода локального потенциала для решения нестационарных задач
Рассмотрим пластину, на концах которой поддерживается постоянная температура, скажем, равная 0. Предположим, что начальное распределение температуры задано в виде Т( 1 — хг), где Т — постоянная. Если физические свойства пластины не зависят от температуры, то процесс распространения (охлаждения) тепла описывается дифференциальным уравнением
с начальными условиями
и граничными условиями
Задачу (4.146) —(4.148) можно решить с применением метода временного локального потенциала [1]. Показано, что функционал
стационарен, если только уравнение (4.146) удовлетворяется и выполняется условие 7(/, х)—Т0(/, х).
Представим решение в виде
тде /(0) = 1. Аналогично истинное решение имеет вид
Подставив выражения (4.150) и (4.151) в интеграл (4.149), получим
|
Решение |
х/ = |
0,01 |
х/ = |
= 0,1 |
х/ = 1 |
|
|
аналитическое |
приближенное |
аналитическое |
приближенное |
аналитическое |
приближенное |
|
|
* = 0,0 |
0,968 |
0,975 |
0,792 |
0,779 |
0,0350 |
0,0820 |
|
0,2 |
0,927 |
0,936 |
0,755 |
0,747 |
0,0823 |
0,0787 |
|
0,4 |
0,804 |
0,819 |
0,640 |
0,654 |
0,0696 |
0,689 |
|
0,6 |
0,612 |
0,624 |
0,472 |
0,498 |
0,0509 |
0,0525 |
|
0,8 |
0,336 |
0,355 |
0,249 |
0,280 |
0,0267 |
0,0295 |
|
1 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
Функция /(/) должна быть выбрана таким образом, чтобы интеграл был стационарен, т. е.
Полагая
и интегрируя уравнение (4.153), получаем
где А = const. Так как / (0) = 1, то
В табл.. 4.5 это приближенное решение сравнивается с точным решением [6] задачи для одномерного теплового потока. Видно, что приближенное решение находится в хорошем согласии с точным решением. Точное решение имеет вид [6]
