Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Значимость коэффициентов Ь0 и Ьх проверяется е использованием ^-статистики Стьюдента.

Проверяются гипотезы:

Проверка гипотезы Н0: р^ = 0,j = 0, 1. Данная гипотеза используется для установления значимости каждого эмпирического коэффициента регрессии Ь}.

Рассмотрим коэффициент Ь{. Если гипотеза #0 принимается, то делается вывод о том, что коэффициент Ь{ статистически незначим и линейная зависимость между Y и X отсутствует. Если гипотеза #0 отклоняется, то коэффициент Ь{ считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между Y и X.

Так как для гипотезы Н0у = 0, то соответствующая ^-статистика имеет вид

Приведем формулы для вычисления ^-статистик для коэффициентов Ь0 и Ь{.

Коэффициент b{. — стандартная ошибка (среднее квадратическое

отклонение) коэффициента регрессии Ь{:

Здесь

Сравнивается рассчитываемое по этой формуле наблюдаемое значение критерия ?набл (формула (3.24)) с полученным по таблице распределения Стьюдента критическим значением ?кр = ta. п_2. Критерий Стьюдента зависит от уровня значимости а и числа степеней свободы v = п - 2.

Если |?набл| > ?кр, то нулевая гипотеза Я0: Pi = 0 отвергается в пользу альтернативной Нх Pj Ф 0. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии Ь{.

Коэффициент Ь0. Здесь 5^ — стандартная ошибка коэффициента регрессии Ь0:

Гипотеза //0, относящаяся к коэффициенту регрессии 60, проверяется аналогично.

Замечание 3.2. Необходимо быть осторожным при проверке значимости свободного члена А0:

  • 1) обычная выборка, и пространственная, и временная, часто не содержит наблюдений вблизи точки X = 0;
  • 2) при отсутствии наблюдений на каком-либо участке объясняющей переменной оцененная регрессионная зависимость не может быть в данном месте достоверной.

Свойства дисперсий оценок Ь0 и Ь{:

  • 1) дисперсии 5^ и 5^ прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения а(г). Следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки;
  • 2) чем больше число наблюдений п, тем меньше дисперсии оценок;
  • 3) чем больше дисперсия объясняющей переменной, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов регрессии. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

Взаимосвязь критериев. В парном линейном регрессионном анализе эквивалентны следующие критерии:

Здесь tb[ и tr выборочные значения статистики Стьюдента для коэффициента Ьх и коэффициента корреляции г • F — выборочное значение статистики Фишера. Связь между этими критериями определяется равенством

Это справедливо для критических значений критериев при любом уровне значимости:

Вывод. В парном регрессионном анализе проверки статистической значимости коэффициента Ьи коэффициента корреляции г и коэффициента детерминации R2 эквивалентны. Подчеркнем, что выражение (3.30) справедливо только для парного регрессионного анализа.

Замечание 33. Приведем еще одну формулу для вычисления коэффициента регрессии через коэффициент корреляции:

где

Пример 3.3

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии, полученного по данным примера 3.1.

Решение. Ранее было получено: Q,. = Q, - QR = 763,600 - 706,874 = 56,726; Q, = 10

= 135,6; Jjcf = 2040.

(=i

Уравнение регрессии у, = 3,295 + 2,283ж,.

Пусть доверительная вероятность у = 0,95. Критическое значение гкр при уровне значимости а=1-у=1- 0,95 = 0,05 находится по таблице двусторонних квантилей распределения Стыодента: гкр = t0 05.8 = 2,306. Вычисляем

Проверяем значимость коэффициента Ьх (формула (3.24)):

Следовательно, коэффициент b{ значим; гипотеза #0 отклоняется в пользу гипотезы Я].

Проверяем значимость коэффициента Ь0:

Следовательно, коэффициент Ь0 незначим; принимается гипотеза Я0.

Вывод. Подтвержденная значимость коэффициента Ьх говорит о линейной зависимости Y от X построенного уравнения регрессии.

Замечание 3.4. Приближенное правило оценки значимости коэффициентов регрессии без использования таблиц следующее:

  • 1) если наблюдаемая статистика коэффициента b. |<1, то коэффициент bj не может быть признан значимым, так как доверительная вероятность у менее 0,7;
  • 2) если 1 < |thj | < 2, то найденная оценка может рассматриваться как относительно (слабо) значимая. При этом доверительная вероятность у лежит между 0,7 и 0,95;
  • 3) если 2< b. |<3, то коэффициент значим. Доверительная вероятность у лежит между значениями 0,95 и 0,99;
  • 4) если 3 < | tbj |, то это почти полная гарантия значимости коэффициента.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >