Построение доверительных интервалов для коэффициентов парной линейной регрессии

Базовой предпосылкой МНК является предположение о нормальном распределении случайных отклонений е, с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией а2, которое является теоретически и практически обоснованным:

Согласно модельному уравнению линейной парной регрессии yt = (30 + + (3xXi + г, коэффициенты b0 и Ь{ через г/, являются линейными комбинациями Следовательно, Ь0 и Ь{ также имеют нормальное распределение:

Тогда случайные величины

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = п - 2.

По заданной доверительной вероятности у можно найти интервал

внутри которого находятся значения t с вероятностью у:

Критическое значение (кр при доверительной вероятности у = 1 - а находится по таблицам двусторонних квантилей распределения Стыодента tKp =

~ ^а; п-2-

Таким образом:

После преобразований получим

Доверительные интервалы для коэффициентов парной линейной регрессии с доверительной вероятностью у = 1 - а имеют вид

Прогнозирование на основе модели. Точечный прогноз у0 значения зависимой переменной Y вычисляется подстановкой значения прогнозного фактора х0 в уравнение регрессии: у0 = у(х0) = а + Ьх0.

Интервальный прогноз — это доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью может находиться прогнозируемое значение зависимой переменной Y при значении фактора X =0.

Пример 3.4

Построим доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии, полученного по данным примера 3.1.

Решение. Ранее было получено:

уравнение регрессии у, = 3,295 + 2,283.rj;

стандартные ошибки коэффициентов =0,228 и 5^ =3,257.

Пусть доверительная вероятность у = 0,95.

Критическая точка /:кр = г005.8 = 2,306.

Для нахождения доверительных интервалов при заданной доверительной вероятности у применяем формулы (3.36).

Находим доверительный интервал для коэффициента />,:

Находим доверительный интервал для коэффициента Ьп:

Замечание 3.5 (относительно интервала для коэффициента Ь0). Если в доверительный интервал коэффициента уравнения регрессии входит

нуль, го этот коэффициент незначим. Этот вывод для коэффициента Ь{) ранее был получен в примере 3.3.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >