ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА

Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом а называется число, которое незначительно отличается от точного значения А и заменяющее последнее в вычислениях [2-5]. Под ошибкой или погрешностью А а приближенного числа а обычно понимают разность между соответствующим точным числом и приближенным, т. е.

Если А > а, то ошибка положительная: А а > 0; если же А < а, то ошибка отрицательная: Ла < 0. В некоторых случаях знак ошибки неизвестен. В этом случае целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

Определение 1. Абсолютной погрешностью А приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т. е.

На практике часто число А нам неизвестно, и следовательно, мы не можем определить абсолютную погрешность А по формуле (1.1). В этом случае вводят ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Определение 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если Д„ - предельная абсолютная погрешность приближенного числа а, заменяющего точное А, то

Следовательно, точное число А заключено в границах

В этом случае для краткости пользуются записью

Пример 1.1. Определить предельную абсолютную погрешность числа =3,14, заменяющего число л.

Решение. Поскольку имеет место неравенство 3,14 < к < 3,15, то | а-л | <0,01 и следовательно, можно принять А„ = 0,01. Однако если учесть, что 3,14 < л < 3,142, то будем иметь лучшую оценку: Д„ = 0,002.

Сформулированное выше понятие предельной абсолютной погрешности является весьма широким, а именно: под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел Д„, удовлетворяющих неравенству (1.2). Логически вытекает, что всякое число, большее абсолютной погрешности данного приближенного числа, также может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа.

В записи числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность. Например, если длина отрезка /=215 см с точностью до 0,5 см, то пишут /=215 м ± 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Д/=0,5 см, а точная величина длины / отрезка заключена в границах 214, см

Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Для точности данных измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительной погрешности.

Определение 3. Относительной погрешностью б числа а называется отношение абсолютной погрешности Д к приближенному значению этого числа:

Отсюда Д = | А | б.

Определение 4. Предельной относительной погрешностью 5„ приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а принимаем

Поскольку на практике А ~ а, то вместо формулы (1.6) часто пользуются следующей формулой:

Отсюда, зная предельную погрешность 5Й, можно получить границы для точного числа. То обстоятельство, что точное число лежит между а{ - 8а) и а{ + 5д), записывают так:

Пример 1.2. Масса 1 л воды при О °С = 999,847±0,001 г. Определить относительную погрешность результата взвешивания.

Решение. Очевидно, что Д=0,001 г. Следовательно, 8/>=0,001 /999,847 « * КГ*%.

Пример 1.3. При определении газовой постоянной для воздуха получено R = 29,25. Зная, что относительная погрешность этого измерения равна 0,1 %, найти пределы, в которых заключается R.

Решение. Имеем 5* = 0,001, тогда A=R8r « 0,03. Следовательно, 29,22 < R < 29,28.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >